Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

В этом равенстве подматрица / имеет порядок г, подматрица К — размеры (р — г) х г, подматрица L — размеры rX(q — r), а А пред­ ставляет собой квадратную матрицу порядка г. Ранг матрицы М равен г, такой же ранг и у матрицы А. (Если бы ранг матрицы А не был ра­ вен рангу матрицы М, некоторые из столбцов А представляли бы ли­

нейные комбинации других столбцов, и, следовательно, в матрице ' А

КА

содержались бы не только те столбцы матрицы М, которые являются независимыми.) Из этого можно заключить, что существует А 1.

Вприведенном доказательстве предполагается, что первые г строк

ипервые г столбцов матрицы М независимы. Но ведь расположение

строк и столбцов в матрице может быть иным; в этом случае можно с помощью элементарных ^-операторов менять местами строки (и столб­ цы) М до тех пор, пока независимые строки (и столбцы) не займут на­ чального положения. Обозначим матрицу, получаемую в результате подобных преобразований, через N, а произведение соответствующих

Из сказанного можно сделать следующие выводы: если ЛКх? представ­ ляет собой матрицу полного строчного ранга г, тогда

причем существует А 1. Кроме того, существует (ММ')”1. Дело в том, что из соотношения (16) следует, что

ММ ’ = А (I + LL’)A’.

Предположим, что (/, + LL') не является матрицей полного ранга, тогда существует некая линейная комбинация ее столбцов, равная нулю, т. е. существует ненулевой вектор X, при котором

Каждое слагаемое в левой части равенства (18) представляет собой сум­ му квадратов, поэтому соотношение (18) может быть справедливым лишь в том случае, если X = 0, иными словами, если X — нулевой вектор. Но такой вывод противоречит предположению, которое было сделано при составлении равенства (17) и согласно которому X представляет собой ненулевой вектор. Следовательно, (/ + LL’) — это матрица полного ранга. Поэтому и ММ' — матрица полного ранга (| ММ' \ =

162

= | A | \I + LL'| | A'\ Ф 0, поскольку перемножаются ненулевые опре­ делители). Таким образом, мы доказали, что если М представляет со­ бой матрицу полного строчного ранга, то произведение ММ' имеет обратную матрицу. Аналогичным образом можно показать, что если некоторая матрица N представляет собой матрицу полного столбцо­ вого ранга, то и произведение N'N имеет обратную матрицу.

Полученными результатами можно пользоваться при доказатель­ стве многих теорем матричной алгебры. Например, если А представля­ ет собой матрицу полного строчного ранга, то из АВА = А следует, что АВ = I.

простым делом. Поскольку М = М ', между независимыми строками и остальными строками существует то же соотношение, что и между независимыми столбцами и остальными столбцами, следовательно, соотношение (15) принимает теперь следующий вид:

причем существует обратная матрица Л-1.

Приведение матриц к каноническому виду также предполагает их расчленение; нетрудно показать, в частности, что квадратная матрица полного ранга может быть представлена в виде произведения двух тре­ угольных матриц. Таким образом, если

Пусть А представляет собой квадратную матрицу полного ранга г = п\ тогда R = Р -1 и S = Q-1. В тех случаях, когда Р и Q — это нижние треугольные матрицы (т. е. все элементы, расположенные над диаго­ налью, равны нулю; см. параграф 6 главы I), такой же вид будут иметь и их обратные матрицы. В этом случае А = T’-1Q~1 представляет собой произведение треугольных матриц р - 1 и Q 1, точно так же A~X=QP.

т. е. она равна произведению нижней треугольной и транспонирован­ ной нижней треугольной матриц.

в) ЛЕВАЯ И ПРАВАЯ ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

В параграфе 9 главы V уже кратко упоминалось о левом и правом обращениях прямоугольной матрицы. Было показано, что для матри­ цы Агхс не существует такой матрицы ВсХг, которая могла бы одно­ временно удовлетворять обоим равенствам: АВ = 1Г и ВА = / с. Рассмотрим условия, при которых оказывается верным одно из этих равенств. В соответствии с теоремой 3 соотношение А гХсВсХг = = 1Гможет иметь место только в том случае, когда ранг обеих матриц по крайней мере равен г. Аналогичным образом матрица DcXr, удов­ летворяющая соотношению Dcxr A rXc — I с, может существовать толь­ ко в том случае, если ранг матрицы А по крайней мере равен С.

Однако при г =f=с ранг А не превосходит наименьшего из двух чисел—

Упражнения

164

е) £ = £ - ! = £ ' , Я = Я ';

5. Выразите матрицы A, D и Е, приведенные в упражнении 4, в виде про­ изведения XY, где число строк множителя Y равно рангу матрицы.

Докажите справедливость следующих утверждений:

а) все миноры третьего и большего порядков матрицы А равны нулю; б) ранг матрицы А равен 2;

в) выберем две линейно-независимые строки; тогда любую из остальных трех строк можно выразить в форме линейной комбинации выбранных двух строк;

г) матрицу А можно следующим образом представить в виде произведения XY; размер матрицы X — 5 X 2, а матрицы Y — 2 X 4 :

165

10. Компания, которая объединяет четыре магазина, торгующие спортив­ ными товарами, должна установить единые цены на следующие товары: лыжи, лыжные палки, ботинки, крепления. Объем предполагаемых продаж по различ­ ным магазинам указан в приводимой матрице; по строкам в ней группируются данные, относящиеся к различным товарам (в том порядке, в каком они перечис­

166