Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

лены в начале упражнения), а по столбцам — данные, относящиеся к различным магазинам,

'1 2 3 2 ^

Предполагается, что объем продаж не зависит от цены товаров. Общая выручка от продажи товаров по четырем магазинам должна составить соответственно 2 0 0 ,

где Yt обозначает национальный доход, gt — правительственные расходы, Ct — потребительские расходы, /* — производные частные инвестиции, а индекс t характеризует период времени, к которому относятся указанные величины*.

* Характеристику употребляемых в западной экономической литературе тер­

167

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ VI1 И ОБОБЩЕННОЕ

ГЛАВА ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ

Мы видели, что линейные уравнения, содержащие несколько неизвестных величин, могут быть следующим образом представлены в матричной форме: Ах = у, где х представляет собой вектор неизвест­ ных величин, у — вектор известных нам значений и А — матрицу коэф­ фициентов. Эта форма записи (Ах =у) относилась в нашем изложении лишь к тем случаям, когда число уравнений равно числу неизвестных. Тогда А представляет собой квадратную матрицу; если А — матрица полного ранга, тогда существует А~х и, следовательно, решением сис­ темы будет х = А^у. Однако до сих пор еще не рассматривался слу­ чай, когда А представляет собой квадратную матрицу неполного ранга. Не рассматривалась также следующая возможность: число уравнений не равно числу неизвестных величин, и А представляет собой прямо­ угольную матрицу. Любая из перечисленных трех возможностей пред­ ставляет собой просто частный случай при более общей постановке задачи, когда требуется разрешить систему, состоящую из р уравне­ ний с q неизвестными. Эту задачу можно записать в следующей форме:

A p x q X q x l ~ Урх Ь

причем ранг матрицы А равен г. Если р = q = г, А представляет собой квадратную матрицу полного ранга; если р = q я г ф р, А — квад­ ратная матрица неполного ранга; если р ф q, А — прямоугольная матрица (причем г не превышает меньшего из двух чисел р и q).

В этой главе мы рассмотрим решение общей задачи A pxq X xgXi = = урХ\. Если А представляет собой квадратную матрицу полного ранга, решением системы будет х = А~1у, если же А — квадратная матрица неполного ранга или прямоугольная матрица, тогда не суще­ ствует обратной матрицы Л -1. Тем не менее, если выполнены определен­ ные условия, решение системы все же может быть найдено. В этой гла­ ве будут рассмотрены указанные условия; мы покажем, почему удовле­ творение этих условий обеспечивает решение системы уравнений. Затем будут изложены более совершенные методы решения уравнения Ах = у, основывающиеся на обобщенном обращении матрицы Л;

169

описываемая в этом разделе техника вычислений основана на резуль­ татах недавних исследований в области матричной алгебры.

На протяжении всей главы мы будем рассматривать только линей­ ные уравнения (например, типа За + b —2с =17). Поэтому под «урав­ нениями» мы всегда будем подразумевать линейные уравнения. Неиз­ вестные скалярные величины в Ах = у, т. е. элементы вектора х, будут обозначаться буквами а, Ь, с, что же касается буквы х с различными индексами, то ею мы будем обозначать отдельные векторы. Поэтому обозначения теперь будут иметь следующий вид:

х\ = \аг Ьг cj и Х2 = [а2 Ь2Г с2].

1. УРАВНЕНИЯ, ИМЕЮЩИЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ

Уравнение Ах = у может иметь одно решение, множество решений или вообще не иметь решения. Это зависит от того, каков вид матрицы А и вектора у. Например, уравнения

а + b = 7

и

2а + b = 10

имеют одно решение: a = 3 и J = 4, а уравнения

а + b = 5

будут иметь бесконечное множество решений, в каждом из которых b — = 5 — а. Можно утверждать, что уравнение 2а + 2Ь = 10 совершенно эквивалентно уравнению а + b = 5, и поэтому в действительности нам дано только одно уравнение, а не два. Рассмотрим еще один при­ мер системы уравнений:

Подставив в левые части уравнений (1) следующие величины: а = 4, Ь = 2 и с = 0, мы сможем убедиться в том, что они удовлетворяют ус­ ловиям (1). Числа а = 6, Ъ = \ и с = — 1 также будут удовлетворять нашим уравнениям, это же относится и к значениям а = 1,2; b — 3,4 и с = 1,4. Следовательно, все три набора чисел могут служить реше­ нием уравнений (1); можно привести и многие другие решения. Таким образом, соотношения (1) представляют собой еще один пример урав­ нений, имеющих не одно, а множество решений. Этот факт может уди­ вить, если сталкиваешься с ним впервые; и все же такая ситуация весьма часто встречается при применении математических методов в

170

предпринимательской деятельности и при решении задач, относящих­ ся к области экономики.

Прежде чем продолжить изложение, отметим характерную особен­ ность уравнений (1): если первое уравнение умножить на два и вычесть из произведения второе уравнение, в результате мы получим третье. Таким образом, третье уравнение представляет собой линейную ком­ бинацию двух других; поэтому нам даны только два независимых урав­ нения с тремя неизвестными.

2. СОВМЕСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

а) ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Рассмотрим два уравнения:

а + b = 5

и

2а + 26 = 1 1 .

Если одно из них верно, то другое не может быть верным, второе урав­ нение несовместно с первым. Такую систему линейных уравнений называют несовместной. Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Умножив первое из этих уравнений на два, вычтем из него второе:

2(2а + ЗЬ +с) — (а + b + с) = 2 (14) — 6,

т. е.

За + ЪЬ + с = 22.

Полученное уравнение прямо вытекает из первых двух уравнений сис­ темы (2), однако если оно верно, тогда неверно третье из уравнений системы (2). Из-за этого систему уравнений (2) называют несовместной. В приведенном примере отмечалось, что, умножив первое из уравнений (1) на два и вычтя из произведения второе, мы можем получить третье уравнение. Записав уравнения в матричной форме

мы можем видеть, что тем же самым соотношениям в равной мере удов­ летворяют как строки матрицы А, так и соответствующие элементы вектора у. Последняя строка матрицы А (последний элемент векто­

171