Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

ра у) равна удвоенной первой строке (удвоенному первому элементу) за вычетом второй строки (второго элемента). Уравнения такого ро­ да называют совместными, т. е. по определению, линейные уравне­ ния Ах = у совместны в тех случаях, когда любое линейное соотно­ шение, которому удовлетворяют строки матрицы А, справедливо также для соответствующих элементов вектора у.

Определение совместности не требует того, чтобы между строками матрицы А существовала линейная зависимость, однако, если она все же существует, то для соответствующих элементов вектора у должны быть справедливы те же соотношения. Если А представляет собой квад­ ратную матрицу полного ранга, уравнения Ах = у всегда совместны, поскольку между строками матрицы А не существует линейной зави­ симости и, следовательно, отсутствуют соотношения, которым должны удовлетворять элементы вектора у. Однако всякий раз, когда ранг А оказывается меньше числа ее строк (независимо от того, является ли А квадратной или прямоугольной матрицей), мы должны задаваться вопросом о том, будут ли элементы вектора у удовлетворять линейным соотношениям, существующим между строками матрицы А. Если они действительно удовлетворяют этим соотношениям, тогда уравнения Ах = у совместны; в противном случае эти уравнения несовместны.

б) СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ

Ответ на вопрос о совместности уравнений чрезвычайно важен: дело в том, что совместные уравнения могут быть решены, а несовместные — нет. Но прежде чем изложить два полезных способа проверки, яв­ ляются ли уравнения совместными, мы покажем, что совместные урав­ нения всегда имеют по крайней мере одно решение.

Вернемся к системе уравнений

Ар X Q x q X 1 ~ У Р Х Ь

где ранг А равен г. Тогда г из р строк матрицы А линейно-независимы. Предположим, мы записали наши уравнения в таком порядке, что линейно-независимы первые г строк А; они образуют матрицу, кото­ рую мы назовем А*. Оставшиеся строки матрицы А представляют собой линейные комбинации из первых независимых строк, входящих в мат­ рицу А*, поэтому оставшиеся строки можно записать в форме СА *, где С — матрица коэффициентов соответствующих линейных комбинаций.

Следовательно, в расчлененной форме матрица А может быть выражена

- А*

как А СА* . Предположим, что уравнения совместны, в таком

случае вектор у, элементами которого служат правые части уравнении, можно расчленить аналогичным образом, представив его в виде у =

Q/iУ1_ , причем вектор ух содержит г элементов, а вектор

172

Поскольку любое решение (4) удовлетворяет также соотношению (5), задача сводится к решению системы (4).

Матрица Л* в (4) содержит г линейно-независимых строк. Столбцы матрицы Л* и соответствующие элементы вектора х переставим таким образом, чтобы первые г столбцов Л* также были линейно-независимы. Тогда Л* можно расчленить следующим образом: А* = [А1 Л2], где Аг — невырожденная квадратная матрица порядка г и Л2 — матрица, размеры которой — rX(q—г). В соответствии с расчленением

любом векторе х2 мы будем пользоваться формулой (8) для определе­ ния Xi, то вектор

в этих рассуждениях принималось существенное предположение от­ носительно (3) о том, что уравнения Ах = у совместны. Таким обра­ зом, мы показали, что совместные уравнения имеют решение; в прило­ жении к данной главе будет доказано обратное утверждение: любые уравнения, имеющие решение, совместны.

Пример. Для того чтобы решить систему уравнений (1), опираясь на формулу (9), воспользуемся вначале матричной формой, приведен-

173

ной в разделе а параграфа 2. Расчленив матрицу в соответствии с (3), мы получим

поэтому уравнение (6) будет выглядеть так:

с

Применяя формулу (8), мы приходим к выводу:

или после преобразований:

В этом примере х2 равен просто скалярной величине с. Подставляя зна­ чения (10) в формулу (9), мы получим следующее решение1:

Отсюда видно, что уравнения (1) имеют множество решений, по­ скольку при любом значении с выражение (11) будет удовлетворять

становки. В результате мы приходим к следующему выводу:

1Ч е р е з х мы б удем обозн ач ать р еш ен и е , тем самым отли ч ая его от х — вектора

н еизвестн ы х величин.

174

независимо от того, какие значения принимает с. Следовательно, сис­ тема уравнений (1) имеет бесчисленное множество решений.

При выводе (9) мы принимали предположение о том, что г меньше любого из двух чисел р и q. Заметим, однако, что эти результаты будут справедливы и в том случае, когда г равно любому из этих чисел или обоим сразу*. Тогда одна из подматриц расчлененной матрицы будет просто отсутствовать, и либо подматрица СА*, либо подматрица Л 2, либо обе они не будут содержать ни одного элемента. Если подматрицы

Л2 не существует, то не существует и вектора х2.

Вобщем случае совместная система уравнений Ах = у будет иметь

ху может быть вычислен на основе соотношений (8) при любом х2. Та­ ким образом, формула (9) дает не только метод решения уравнений Ах — у\ на ней основан также вывод о том, что может существовать множество решений. В зависимости от того, существует или не суще­ ствует х 2, уравнения могут иметь бесконечное множество решений или единственное решение. Если ранг матрицы г равен q — числу не­ известных, вектора х2 не существует. Матрица А* совпадает с А ъ и ре­ шение (9) принимает вид х = А ~ ху, причем это решение оказывается единственным. Если к тому же р — г = q, матрицы Л, А* и Аг совпа­ дают между собой, и решение остается тем же: х = А~1у. Если г <lq, тогда х2 существует, а уравнение имеет бесконечное множество реше­ ний.

Примеры. В уравнении

единственное решение имеет следующий вид:

Ранг матрицы в нашем примере равен числу неизвестных (г = q= 2) и уравнение имеет только одно решение. Что же касается уравнения

*В последнем случае очевидно, что p—q, и речь идет о квадратной матрице.—

Прим, перев.

175