Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Для применения этого способа проверки требуется определить ранг матриц [А у\ и А. Если ранги этих матриц равны между собой, урав­ нения совместны; в противном случае они несовместны.

Пример. Пусть даны уравнения Ах — у, в которых

Тогда, прибегнув к элементарным операциям со строками (см. параграф 7 главы VI), можно определить ранг матрицы А:

С помощью тех же элементарных операций эту матрицу можно приве­ сти к следующему виду:

Таким образом, г [А у] = 2 = г (А), из чего можно заключить: урав­ нения Ах = у совместны.

В последующих параграфах этой главы будут изложены методы решения уравнений, предполагающие приведение матрицы Л к диаго­ нальному виду, поэтому мы приведем сейчас еще один способ проверки совместности уравнений, который может быть применен в сочетании с этими методами: допустим, что А представляет собой матрицу ранга г, в ней содержится р строк; через PAQ обозначим диагональную форму А, в таком случае уравнения Ах = у будут совместны тогда

итолько тогда, когда последние р—г элементов Ру равны нулю1.

1По предположению, PAQ представляет собой диагональную форму мат­ рицы А, тогда РА можно записать следующим образом: РА = J“y4rJ , где Аг — мат­

рица, содержащая г линейно-независимых строк, а Р — произведение элемен­ тарных операторов соответствующего вида. Поэтому, если уравнения А $ = у совместны, то совместны уравнения РАх = Ру, а следовательно, совместной окажется и система j"^4глгj = Ру. Из этого непосредственно вытекает, что послед­

— Ру совместны, а так как Я - 1 существует, то совместными окажутся и уравне­ ния Р ~ г j'Hj.j х = у, из этого следует, что Ах = у представляет собой систему

совместных уравнений.

177

С помощью такого подхода мы можем установить совместность тех или иных уравнений. Приведя матрицу А к диагональному виду PAQ, определяем г, т. е. ранг А; он равен числу ненулевых элементов в мат­ рице PAQ. Затем, зная р н г, мы можем исследовать последние р ~ г элементов Ру: если они равны нулю, то наши уравнения совместны, если, однако, хотя бы один из этих элементов отличен от нуля, уравне­ ния несовместны.

Пример. Выпишем диагональную форму матрицы PAQ уравнения

Ранг матрицы А равен 2, поэтому для того, чтобы уравнения оказались совместными, последние р — г = 3—2 = 1 элементы Ру должны рав­ няться нулю. Поскольку же Ру имеет следующий вид:

можно утверждать, что уравнения Ах = у несовместны,

г) выводы

Мы показали, как решать совместные уравнения Ах = у с помощью формул (8) и (9). Требуется выбрать г линейно-независимых строк мат­ рицы А и представить их в виде [Лх Л 2], где Лх — квадратная невыро­ жденная матрица г-го порядка. В таком случае будет существовать и Л7 1, следовательно, могут быть использованы выражения (8) и (9). Такой путь решения предполагает, что мы можем выписать соответст­ вующую матрицу Лх. Для того чтобы отыскать Лх, необходимо, во-пер­ вых, найти г, т. е. ранг матрицы Л, во-вторых, выделить г линейно-не­ зависимых строк, а среди элементов этих строк — г линейно-незави­ симых столбцов, и, наконец, в-третьих, переставить (если это необхо­ димо) строки и столбцы матрицы Л и элементы векторов х и у таким образом, чтобы придать матрице удобную для расчленения форму.

Нетрудно проделать все это, если система состоит из небольшого числа уравнений; однако в тех случаях, когда число уравнений велико, любая из перечисленных операций может оказаться чрезвычайно тру­ доемкой. К счастью, существует метод, который позволяет избежать всех этих затруднений, он не требует ни вычисления ранга Л, ни

178

отыскания невырожденной подматрицы. Кроме того, этот метод может применяться и тогда, когда число уравнений оказывается больше или меньше числа неизвестных (матрица Л прямоугольна), в этом случае он будет лишь незначительно отличаться от способа, применяемого при равенстве числа уравнений числу неизвестных (матрица А квадратна). Такой метод предполагает использование матриц, называемых обоб­ щенными обратными матрицами.

3. ОБОБЩЕННЫЕ ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

а) ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Пенроуз [6] показал, что для любой матрицы А существует некая единственная матрица К, удовлетворяющая следующим четырем условиям:

Такую матрицу К Пенроуз назвал обобщенной обратной к А матрицей; он показал, что обобщенная обратная матрица всегда существует и однозначно определена при любой форме исходной матрицы А, кото­ рая может быть квадратной (вырожденной или невырожденной) или прямоугольной.

Пример. Пусть дана матрица А:

Г 1 О 2 П

1 2 О

Тогда матрица К, удовлетворяющая условиям 1—4, имеет следующий вид:

Пенроуз не только доказал существование и единственность матрицы, удовлетворяющей условиям 1—4, он показал также, как можно ею пользоваться при решении линейных уравнений1. Однако, если порядок матрицы А достаточно высок, построение обобщенной обратной матри­ цы К требует громоздких вычислений; между тем существуют различ­ ные модификации К, которые оказываются столь же полезными при

1 Этот вопрос рассматривался также в работах Мура [5] и Бьеммэра [1], об­ зор исследований в данной области содержится в работе Мэлика [4].

179

решении уравнений, но вычисляются более простым способом. Такие модификации обобщенной обратной матрицы могут носить различные названия. Рао [7] и Грэвилл [3], например, употребляют термин «мнимая обратная матрица», Уилкинсон [9] применяемую матрицу называет «эффективной обратной», а Голдмэн и Зилэн [2] именуют любую матри­ цу, удовлетворяющую условиям 1 , 2 и 3, «слабо обобщенной обратной матрицей». Термином «обобщенная обратная матрица» Рао [8] называет также любую матрицу Т, обеспечивающую решение совместных урав­ нений Ах = у в виде х = Ту. Далее, при доказательстве теоремы 1 будет показано, что, если такое решение существует, то имеет место АТА — А, т. е. тем самым предполагается условие 1. По этой причине, а также потому, что большая часть предлагавшихся в литературе обоб­ щенных обратных матриц Пенроуза удовлетворяет условию 1, мы при­ няли в этой книге определение «обобщенная обратная матрица» для обозначения любой матрицы G, которая удовлетворяет условию AGA = =А, т. е. для обозначения любой матрицы, удовлетворяющей первому из четырех условий Пенроуза*.

Из теоремы, которую мы упоминали, следует, что условия, пред­ полагаемые определением Рао [8], включены в наше определение обоб­ щенной обратной матрицы; то же самое можно сказать и о большинст­ ве других приводившихся определений, поскольку все они опираются на условие 1. Остальные условия (2, 3, 4), которые могут содержаться в том или ином определении, не противоречат нашему определению, а лишь дополнительно ограничивают его; самое сильное ограничение налагает одновременное включение всех четырех приведенных ус­ ловий. В этом случае мы можем воспользоваться тем определением обобщенной обратной матрицы, которое можно найти в работе Пен­ роуза, — «единственная обобщенная обратная матрица»1.

Матрицы, обладающие таким свойством, часто называют идемпотентными: так, матрица Я идемпотентна, если Я2 = Я.

*В русском переводе книги Рао С. Р. «Линейные статистические методы и их применения» (М., «Наука», 1968) также принято сокращенное обозначение обоб­ щенной обратной матрицы — g-обратная матрица. — Прим, перев.

ХВ параграфе 9 главы V рассматривались левая и правая обратные матри­ цы; каждая из таких матриц удовлетворяет трем из четырех условий. Так, если

180