Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

в) ВЫ Ч И С Л ЕН И Е О Б О Б Щ Е Н Н О Й О Б Р А Т Н О Й М А Т Р И Ц Ы

Изложим общую технику вычисления обобщенной обратной к А матрицы G. Хотя описываемый метод в одинаковой мере пригоден и для прямоугольных, и для квадратных матриц, мы вначале будем предполагать, что исходная матрица А квадратна. Небольшие изме­ нения в методике вычислений, требующиеся в том случае, когда исход­ ная матрица А имеет прямоугольную форму, будут указаны в конце главы.

В параграфе 9 главы VI был описан метод приведения любой мат­ рицы А к следующей диагональной форме:

PAQ = Д = "Ц. О

О О

где А представляет собой матрицу, имеющую тот же порядок, что и ис­ ходная матрица Л; г означает ранг Л, Dr — диагональную матрицу, содержащую г ненулевых элементов, а 0 — нулевые матрицы соот­ ветствующего порядка. Матрицы Р и Q представляют собой произве­ дения соответствующих элементарных операторов.

Введем теперь определение новой матрицы А~:

Символ А- читается: «дельта минус», а знак D7 1 обозначает мат­ рицу, обратную DT.

Тогда, если определить матрицу G следующим образом:

можно показать, что G представляет собой обобщенную обратную матрицу (по отношению к Л), т. е. AGA = А.

Пример. Матрица приведенных ранее уравнений (1) имеет следую­ щий вид

2 3 1

Л 1 1 1

3 5 1

С помощью следующих произведений элементарных операторов

181

м о ж н о п р и в е с т и м а т р и ц у А к д и а г о н а л ь н о й ф о р м е . Т а к и м о б р а з о м ,

из этого следует, что Д~ДД_ = А- и ДА~А = А. Кроме того, по­ скольку Р и Q—произведения соответствующих элементарных опера­ торов, существуют и их обратные матрицы; поэтому из PAQ = А можно заключить, что А = P~1A Q 1. Подставив это выражение и соот­ ношение (12) в произведение AGA, а затем воспользовавшись равенст­ вом (13), мы получим следующие результаты:

AGA = P^AQ ^QA PP XAQ 1 = P ^ A A - A Q 1 = P^AQ -1 = A.

Таким образом, мы показали, что AGA — А, если матрица G опреде­ лена в соответствии с (12). Из этого можно сделать следующий вывод: G представляет собой обобщенную обратную матрицу А. Обобщенная обратная матрица G, как правило, определяется неоднозначно (Р и Q, вообще говоря, могут быть различны, а следовательно, и G = QA P

182

определена не единственным способом); все же следует отметить, что может быть единственное исключение из этого правила1.

Представляют интерес также следующие два свойства обобщенной обратной матрицы G, доказываемые аналогичным путем. Во-первых, преобразуя выражение GAG, можно получить G (второе условие Пенроуза)2:

пополняют нашу информацию о свойствах обобщенной обратной мат­ рицы G; ранее уже отмечались два других свойства матрицы G, удов­ летворяющей условию AGA = А: г (Я) = г (А), и если GA = Я, то Я2 = Я. Все четыре указанных свойства используются при реше­ нии уравнений Ах = у относительно вектора х с помощью матрицы G.

4. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБОБЩЕННЫХ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ

а) СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ

Приводимая далее теорема заимствована из работы Рао [8]. В этой теореме устанавливается соотношение между совместными уравнения­ ми Ах — у и обобщенной обратной матрицей А.

Теорема 1. Совместные уравнения Ах = у имеют решение х = Gy тогда и только тогда, когда удовлетворяется следующее условие:

AGA = А.

Доказательство. Рассмотрим уравнения Ах — ajt где а,- пред­ ставляет собой /-й столбец матрицы А. Эти уравнения совместны, поскольку их решение образует вектор х0, все элементы которого, кроме /-го, равны нулю, а /-й элемент равен единице. Итак, если реше­ нием уравнений Ах = у может служить вектор х ==Gy, то уравнения Ах = aj будут иметь решение х = Gaj. Подставив это решение в исход­

1Исключение составляет следующий случай: пусть А — это квадратная мат­ рица полного ранга; тогда Д —D и G = Q A ~P= Q (Q -1y4“ 1P'“:L) Р = Л -1. Таким образом, если А представляет собой квадратную матрицу полного ранга, она имеет единственную обратную матрицу G.

2 Рассмотренный^метод построения G позволяет вывести соотношение GAG = = G, однако наличие этого свойства не является необходимым условием решения

183

ные уравнения, мы получаем следующее выражение: AGa} = aj. Указанное равенство остается справедливым при любых значениях /, т. е. для всех столбцов матрицы А; но из этого следует, что AGA = А. Таким образом, если уравнения Ах = у имеют решение х = Gy, то, как мы показали, AGA = А.

Докажем теперь обратное утверждение. Допустим, что AGA = А. Тогда AGAx = Ах; поскольку же Ах = у, то AGy = у, т. е. A (Gy) — = у. Из этого следует, что вектор х = Gy служит решением уравне­ ний Ах = у, что и требовалось доказать.

Пример. В качестве примера вновь возьмем уравнения (1). Как

будет служить решением уравнений (1); в этом можно убедиться не­ посредственно, подставив полученные значения в исходные уравнения.

AGA = А; в таком случае решение можно получить в виде Gy. Однако, как отмечалось ранее, если ранг матрицы А меньше, чем число неиз­ вестных, уравнения имеют множество решений. Теорема 2 позволяет разработать метод отыскания всех остальных решений, если известно хотя бы одно решение (последнее же можно получить с помощью тео­

с теоремой 1 имеют решение в виде х = Gy. Следовательно,

Ах = AGy = Ах = у.

184

Так как Ах — у, х = Gy + (Я — I) z оказывается решением сов­ местных уравнений Ах = у при любых значениях вектора z, имеющего порядок q.

Пример (продолжение). Исходя из уравнений (1), рассчитываем

представляет собой решение уравнений (1). Предположим, что вектор

Если предположить, что z3 = —с, это решение совпадает с решением по формуле (11), предполагающей расчленение соответствующих матриц. Придавая z3 значения 0, 1 и —2, мы получим прежние число­ вые решения:

имеет, по существу, ту же форму, что и решение, вычисленное на осно­ ве формулы (9). Подставляя в одно из этих выражений произвольные значения вектора г, а в другое — соответствующие значения вектора х2, можно получить одну и ту же совокупность векторов, которые служат решением уравнений Ах = у. Поскольку ранг матрицы Я—I равен q—г, вектор (Я—I) z содержит лишь q—г независимых элемен­ тов, т. е. то же число элементов, что и вектор х2. Из этого следует, что оба пути приводят к отысканию одного и того же набора линейно­ независимых векторов, которые служат решением уравнений Ах = у.

185