Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

г) С У Щ Е С Т В О В А Н И Е П Р О И З В Е Д Е Н И Я М А Т Р И Ц

Как уже отмечалось в параграфе 6 главы I, для обозначения порядка матрицы можно пользоваться индексами, в таких случаях А тХс озна­ чает матрицу размером г на с (в ней содержится г строк и с столбцов). В этих обозначениях произведение АВ может быть записано следую­ щим образом:

Агхс B cxs = Ргxs>

такая форма удобна:, она позволяет не только проверить, согласованы ли Л и В для умножения друг на друга, но и определить порядок их произведения.

Умножение друг на друга более чем двух матриц выводится по пря­ мой аналогии из правил умножения двух матриц. Из этого следует, что произведение АВС существует в том случае, если матрицы согласованы для умножения АВ на С. Это условие выполняется тогда, когда в АВ содержится столько же столбцов, сколько в С строк. Но в А В имеется то же число столбцов, что и в В. Следовательно, для того, чтобы су­ ществовало произведение АВС , матрицы должны быть согласованы для умножения В на С. И в общем случае: произведение ABCD ... сущест­ вует, если каждая пара смежных матриц согласована для умножения предыдущей на последующую. Снова применяя указанные индексные обозначения размера матриц, можно определить порядок их произве­ дения более -просто. Смежные индексы (если выполняется условие со­ гласованности, они должны быть равны между собой) сокращаются, и остаются лишь первый и последний индексы, которые и определяют порядок произведения. Например, произведение A 2X3B3x5C5xl0D10yi будет представлять собой матрицу размером 2x4. В общем случае про­ изведение A rXcBcXSCsxtDtxk образует матрицу порядка г X k\ этот результат можно распространить и на тот случай, когда производится умножение более 4 матриц.

Как уже отмечалось, ВА может не существовать даже в том случае,

Следовательно, при умножении двух матриц А я В могут наблюдаться три ситуации. Пусть А представляет матрицу размером г X с, тогда:

1) АВ существует только в том случае, если матрица В содержит с строк;

2) ВА существует только тогда, когда В содержит г столбцов; 3) АВ и ВА существуют одновременно, только если размер В равен

с X г.

Из правила 3 следует, что произведение А А = А 2 существует толь­ ко в том случае, если матрица А квадратна. Другое следствие из при­ веденных правил: произведения А В и ВА существуют во всех тех слу­ чаях, когда А иВ представляют собой квадратные матрицы одинакового порядка. Однако, как будет показано впоследствии, эти произведения не обязательно должны быть равны между собой. Для того чтобы их

36

различать, АВ называют произведением Л на В (или В умножена на А справа), а ВА — произведением В на Л (или В умножена на Л слева).

Пример. Вновь рассмотрим работу оборудования, упоминавшегося в предшествующем примере (параграф 6 главы I). Это оборудование работает удовлетворительно или нуждается в налаживании, причем матрица вероятностей перехода, характеризующих эти изменения, будет иметь следующий вид:

Будем считать, что в первый период оборудование нуждается в налажи­ вании. Предположим, что состояние оборудования в этот период сле­ дующим образом записывается с помощью вектора-строки х[\

х,' = [1 0].

(Индекс «1» при х' здесь указывает период времени, он не является ин­ дексом при элементах матрицы.) Тогда при тех же обозначениях можно определить состояние оборудования во второй период Хг, если умно­ жить вектор состояния, относящийся к первому периоду, на матрицу вероятностей перехода:

Состояние оборудования в третий период можно определить следующим

Таким образом, состояние оборудования в п-й период равно вектору состояния в первый период, умноженному на матрицу вероятностей перехода в степени (п — 1) или, другими словами, на Р я~ 1.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы, причем эта операция осуществляется путем многократного применения правила умножения матриц. Например:

Аналогичным образом матрицы возводятся и в более высокую степень.

37

остается в силе прежнее предположение о том, что а' представляет со­ бой вектор-строку; для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, укажем порядок а' с помощью индексов 1Хс, умножая ai'Xc на 6сХ1, мы получим

0 \ Х С Ьсх 1 = P lx b

произведение этих векторов образует скалярную величину—эквива­ лент матрицы размера l x l . С другой стороны,

ЬсХ1 0\хс~ Рсхс-

В результате перемножения тех же векторов в противоположном по­ рядке получаем квадратную матрицу. В разделе б данного параграфа рассматривалось умножение матрицы на вектор-столбец:

Агхс Ьсх 1 =- prx 1>

в результате такой операции мы получали вектор-столбец. Аналогич­ ным образдм в результате умножения вектора-строки на матрицу

0 [ Х с В с х г — Р \ Х Г

мы получали вектор-строку.

Не прибегая к специальным обозначениям, можно следующим об­ разом описать результаты всех этих операций:

1) в результате умножения справа вектора-строки на векторстолбец получаем скалярную величину;

2) в результате умножения справа вектора-столбца на векторстроку получаем матрицу;

3)в результате умножения справа матрицы на вектор-столбец получаем вектор-столбец;

4)в результате умножения справа вектора-строки на матрицу по­ лучаем вектор-строку.

Кэтим выводам можно непосредственно прийти, сохраняя при по­ элементном умножении один и тот же принцип движения: у одного

множителя — по горизонтали вдоль строки, а у другого —соответствен­ но вниз по столбцу.

38

е) У М Н О Ж Е Н И Е Н А Д И А Г О Н А Л Ь Н У Ю М А Т Р И Ц У

В параграфе 6 главы I диагональная матрица была определена как квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне диа­ гонали, равны нулю. (Некоторые элементы, лежащие на диагонали, тоже могут быть равны нулю.)

Вспомнив правила умножения матриц, обнаружим, что с диагональ­ ными матрицами эта операция выполняется совсем просто: умножая слева матрицу А на диагональную матрицу D, получаем матрицу, строки которой представляют собой элементы соответствующей строки матрицы А, помноженные на элементы, стоящие в той же строке диа­ гональной матрицы D. Так, если

Умножение справа на диагональную матрицу приводит к аналогичным результатам: элементы, расположенные по столбцам, теперь умножают­ ся на элементы, стоящие в соответствующем столбце диагональной матрицы D, например,

ж) НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ

Когда а, Ь, с и d представляют собой скалярные величины, правила обычной алгебры гласят, что если а2 = 0, тогда и а = 0, или если cd = = 2с, тогда d = 2*. Однако в матричной алгебре аналогичные вы­ воды не всегда правомерны. Например, если

что £> = 2. Столь же мало оснований полагать, что приведенное прави­ ло относится и к произведению DC. Например, если

3 9