Обозначим элементы вектора и; через а* и bt, тогда уравнение (9) приобретает следующий вид:
|
'1 - Л |
4 |
- Л |
при |
г = 1, |
2. |
|
. |
9 |
1 - V |
1---
|
|
|
|
|
Подставив |
= |
— 5, получаем уравнения |
|
|
и |
|
|
6 <2j -f |
4 bx = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 а1 + |
6 Ь1 — 0. |
|
|
Припишем элементу од произвольное значение aj = |
2, теперь можно |
получить |
решение |
уравнений: Ь1 =■--- — 3 и, |
стало |
быть, соответст |
вующий характеристический вектор иу |
Т |
|
3 • |
|
Подставляя аналогичным образом значения второго характерис
тического корня Х2 |
7, мы получим уравнения |
|
|
|
|
|
6а2 + |
46 а |
|
- 0 |
|
и |
|
|
|
9а2 — 662 -- 0. |
|
|
|
|
|
|
Приписывая а2 произвольное значение |
а2 = 2, находим |
решение: |
62 = 3, |
а соответствующий характеристический вектор и 2 имеет сле |
дующий |
вид: |
и 2 |
2~ |
|
|
|
|
3 |
• |
из |
характеристических |
векторов: |
Построим |
матрицу, |
состоящую |
|
|
|
U ~-[их и2) |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
—3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
причем | U | = |
12 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
—2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 ' |
|
В соответствии с (7) находим диагональную матрицу
Решая систему уравнений (9), мы в ходе вычисления каждого из характеристических векторов ихи и 2произвольно выбирали значения: ах = 2 и а 2 = 2. Покажем теперь, что процесс построения матрицы U, состоящей из характеристических векторов, и процедура вычисле ния диагональной матрицы D по формуле (7) не зависят от выбора этих
произвольных значений. Возьмем теперь, |
скажем, а 1 1 и а 2 = 3 |
Тогда |
матрица |
будет иметь |
следующий |
вид: |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
— 1,5 |
4,5 |
|
причем |
|U 9 |
и и - г = — |
4.5 |
—3 |
|
1.5 |
|
1 |
|
|
|
9 |
|
|
а диагональная матрица, как и прежде, равна:
|
D U-1 AU — — |
4,5 |
- -3 |
1 |
4 |
|
.1,5 |
1 |
9 |
1 |
|
9 |
|
|
- 5 |
0 |
Xi |
0 |
|
|
0 |
7. |
0 |
Х2_ |
Справедливость этого можно продемонстрировать и с помощью более общих рассуждений. Во всех случаях, когда матрица А представима в виде произведения UDU-1, можно, задав определенное значение Хь решить уравнение (Л — X*/) пг = 0 относительно ыг; при этом одному из элементов вектора «*• можно придать произвольное значение.
Пример. Дана матрица
1 4 1
А2 1 0
— 1 3 1
В таком случае характеристическое уравнение имеет следующий вид:
1 -Х |
4 |
1 |
2 |
|
1— X О 0. |
—1 |
3 |
1—X |
Разложив этот определитель по диагональным элементам (см. пара граф 6 главы IV), мы можем записать характеристическое уравнение таким образом:
1 |
4 |
|
1 |
1 |
|
1 |
0 |
—Х3 + Х2 (1 + 1 + 1)—X 2 1 + —1 |
1 |
+ 3 1 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
= 0. |
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
После преобразований это уравнение |
приводится |
к |
виду X (X2 — |
— ЗХ — 4) = 0. Следовательно, характеристические корни матрицы А
имеют следующие значения: %=- 0, — 1 и 4. Теперь обозначим эле менты u t через di, bt и сь тогда уравнение (9) запишется так:
|
' 1 - Л |
4 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1— |
0 |
|
- О. |
|
|
- 1 |
|
з |
1 ~ Л |
__
|
|
|
|
1
|
|
Приняв |
|
|
|
|
|
|
= 0, мы получим систему уравнений: |
|
|
|
ot1 —)—4 |
bi |
Ci ~ 0; |
|
|
2 |
|
+ |
bx |
|
= 0 ; |
|
|
— ах -f- 3 |
bx + |
сх = 0. |
|
Припишем |
элементу аг значение 1 |
и найдем решения: Ьх = |
— 2, |
Ci = 7; следовательно, |
соответствующий характеристический |
вектор |
ГП
—2 . Подставив аналогичным образом второе решение харак-
L 7J
теристического уравнения А,2 |
— |
1, мы получим следующую систему |
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
2 ct2 "Т ^ b2 |
|
с2 — 0; |
|
2 |
а2 + |
|
2 62 |
|
= |
0; |
|
— |
с с 2 “ Н |
^ |
^ 2 |
Т " 2 |
с 2 = |
0 . |
|
Произвольно приписав а 2 значение 2, отыскиваем решения: Ь2 = |
— 2, |
|
|
|
|
|
|
' |
2“ |
с2 = 4; следовательно, второй характеристический вектор и 2 = |
—2 |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Наконец, подставив в уравнения Я,3 = |
4 и выбрав для а3 значение 3, |
мы найдем решения: Ь3 = 2, |
|
с3 = |
1; следовательно, третий характе- |
ристическии вектор иг |
■Э' |
, |
а матрица, состоящая из характеристи- |
2 |
|
L1J |
|
|
|
|
|
|
ческих векторов, имеет такой вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
U —[ux и2 и3] = |
-2 |
-2 |
2 |
|
|
|
|
|
7 |
4 |
1 |
|
Проведя соответствующие вычисления, можно убедиться в том, что I U I = 40, а также в том, что
|
|
х—5 |
5 |
5 |
|
20 |
8 |
—10 |
—4 |
|
3 |
5 |
1 |
|
|
и, следовательно, |
в соответствии с формулой |
(7) |
|
|
|
|
|
'0 |
0 |
0 ' |
Л |
0 |
о ' |
|
|
D = U ~ 1 A U = |
0 —1 0 = 0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
К3 |
|
|
И здесь матрицу А можно представить в форме UDU~l и |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
I
|
“—5 |
5 5 |
|
О
|
О
|
О
|
A t ^ U D W - 1 |
—2 —2 2 |
О
|
|
О
|
|
8 —10 —4 |
|
7 |
4 |
1 |
о
|
о
|
|
1
|
с о
|
СП
|
В качестве полезного упражнения предоставляем читателю самостоя тельно выполнить все рассмотренные операции с матрицами и убе диться в справедливости приведенных соотношений.
Пример. Вернемся к примеру параграфа 3 главы VIII. Предполо жим, что машина может находиться в одном из трех различных состоя ний: 1) настолько изношена, что ремонт нецелесообразен; 2) нуждается в ремонте; 3) нормально работает. Вероятности перехода машины из одного состояния в другое можно представить с помощью матрицы вероятностей перехода:
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
4 |
2 |
4 |
1 |
8 |
9 |
18 |
18 |
18 |
В такой ситуации нам может потребоваться ответ на следующий вопрос: какова вероятность того, что машина окажется в состоянии i после того, как истекло k промежутков времени? Могут также понадобиться све дения о том, какова вероятность состояния i, если k окажется беско нечно большим, т. е. нужно выяснить значение стационарной вероят ности (см. параграф 2 главы VIII). Пусть х'о представляет собой век тор начального состояния, тогда через k периодов вектор состояния x'k = XqРк (см. раздел г параграфа 5 главы II); таким образом, для решения этой задачи требуется возвести матрицу Р в k-ю степень. Как уже отмечалось, решение подобной задачи может быть выполнено с помощью уравнения (7). Далее приводится описание вычислитель ной процедуры.
1 |
5 |
. |
Корни характеристического уравнения матрицы Р равны 1, -g- и |
|
Уравнения, с помощью которых можно отыскать значения характери стических векторов, имеют следующий вид:
1 - Л |
О |
о |
|
|
сц |
|
|
Ь1 = 0. |
1 |
JL |
|
18 |
18 |
|
