Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Подставляя в них ^ = 1 и произвольно приписывая аг значение 1,

ние Я,2 = — и полагая а 2=^0, вычисляем значение другого характери­

О

стического вектора: и2 3 ; наконец, при Х3= и а3 = 0 находим

—4

С помощью этих выражений мы можем легко рассчитать значения элементов Рк при любом k. Пусть, например, k = 2,

320

Взглянув на общую запись Рк, нетрудно заметить, что с ростом

страняется на всю систему, называется состоянием ловушки, или поглощающим состоянием (см. параграф 3 главы VIII).

в) СЛУЧАЙ, КОГДА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ КРАТНЫЕ

До сих пор мы предполагали, что все характеристические корни различны, в таком случае U представляет собой матрицу полного ранга; существует обратная матрица {/-1 и А = UDU-1. Если не все характеристические корни различаются между собой, тогда может не существовать обратной матрицы.

Если обратной матрицы не существует, матрицу А невозможно преобразовать в UDU_1. В приводимой теореме рассматриваются условия, позволяющие представить матрицу А в виде произведения

UDU~\

Обозначим через гп* показатель кратности корня Хк в характерис­ тическом уравнении | А — XI | = 0. В таких случаях принято говорить, что Хк — это корень кратности лг* (при k = 1, ..., s). Подобное вы­ ражение означает, что при разложении уравнения | А — XI | на мно­

жители, можно выделить в качестве сомножителя (X — Хк ) ть. А так

лась ранее, когда предполагалось, что все характеристические корни различаются между собой.

Теорема 1. Дана квадратная матрица л-го порядка, имеющая ха­ рактеристические корни Яь Я2, ..., Xs кратности ти тг, ..., та, причем

характеристических корней, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы (А — Хк1) был равен л — тк при каждом значении k —

= 1, 2 , . . . , s.

Выводы из этой теоремы имеют большое значение: при любом зна­ чении характеристического корня X кратности т матрицу можно представить в форме произведения UDU~l тогда и только тогда, когда

г (А — XI) = л — т.

Доказательство этой теоремы см. в работе.Сирла [9, с. 175].

Это утверждение включает также случай, когда т = 1 и кратность любого корня равна единице.

Пример. Пусть дана матрица

— 1 — 2 — 2

1 2 1

— 1 — 1 0

Ее характеристическое уравнение можно привести к следующему виду: (А, — I)2 (А, + 1) = 0; оно имеет корни 1,1, —1. Следовательно, А = 1 — это корень кратности 2. Теперь надо исследовать ранг мат­ рицы А — А/. Для значения А = 1

Читатель может самостоятельно провести расчеты и убедиться в том,

его в выражение А — А/, получаем Матрицу

1 —1 1 ( Л - / ) 3 2 —2 4 1 —1

3 2 2

Ранг этой матрицы равен 2 (элементы строки 3 равны сумме соответст­

3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ

Рассмотрим некоторые свойства характеристических корней и век­ торов, поскольку ими часто приходится пользоваться при решении различных задач.

а) СТЕПЕНЬ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ

Пусть Яг представляет собой решение характеристического уравне­ ния матрицы А и Ui —- соответствующий характеристический вектор. Тогда, следуя (4), можно записать Лм;= Ящг. Умножив это выражение слева на А, получим

шением (4); тогда выражение (10) приобретает следующий вид: Л2«г = = Я-цг. Этот результат легко обобщить, показав, что

где k — любое положительное целое число. Приведенное соотношение выполняется и для отрицательных целых чисел: так, А~к = ( Л -1) 6, если существует обратная матрица Л -1 (см. упражнение 14). Но Я и и удовлетворяют условию Аи = Яя лишь в том случае, если Я пред­ ставляет собой характеристический корень матрицы Л, а и — соот­ ветствующий характеристический вектор. Сравнивая последнее вы­ ражение с (11), легко прийти к следующему выводу: Я* в выражении А ки = Яки является характеристическим корнем А к. Таким образом, отсюда следует, что если Я представляет собой характеристический корень Л, а Л — вырожденная матрица, Я* окажется характеристи­ ческим корнем матрицы А к при всех положительных целых k. Если же

в таком случае -j- — это характеристический корень матрицы Л -1. Пример. Дана матрица

Характеристические уравнения этих матриц имеют следующий вид:

Характеристические корни матрицы А 2 равны возведенным в квадрат характеристическим корням матрицы А, а характеристические корни матрицы Л -1 представляют собой обратные величины по отношению к характеристическим корням А.

где символом tr* (А) обозначены суммы главных миноров i-го порядка матрицы А (см. параграф 6 главы IV). Если порядок матрицы А равен п, тогда это уравнение выглядит следующим образом:

(—^)п + (—X)"-1 ^гх(Л) + (—К)п~ 2 tr2(Л) + ...+

"Таким образом, сумма характеристических корней матрицы равна следу этой матрицы, а произведение характеристических корней сов­ падает со значением определителя матрицы.

будут следующие числа: 0, —1 и 4. Их сумма равна 3, и след мат­ рицы Л равен 1 + 1 + 1 = 3, произведение корней равно нулю, нулю равен и определитель этой матрицы. (Элементы строки 1 рав­ ны сумме соответствующих элементов строк 2 и 3.)

в) НЕНУЛЕВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ

Мы рассмотрели условия, при которых матрицу Л, имеющую крат­ ные характеристические корни, можно представить в виде произведе­ ния и~хА и = 0. Если такое преобразование возможно, U представляет собой невырожденную матрицу и, следовательно,

ранг (D) = ранг (Л) = г.

324