Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Но ранг матрицы D равен числу ненулевых характеристических корней; поскольку существует г ненулевых корней, произведение и~гА и можно записать следующим образом:

D* 0

U -'A U

0 0

где D* обозначает диагональную матрицу r-го порядка, а ее диагональ­ ные элементы представляют собой г ненулевых характеристических корней матрицы А.

Пример. Характеристические корни матрицы

2 3 7

1 2 4 определяются уравнением

1 1 3

к (к2— 7к + 2) = 0.

Таким образом, число ненулевых корней равно 2, т. е. равно рангу матрицы.

г) ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ МАТРИЦЫ, УМНОЖЕННЫЕ НА СКАЛЯРНУЮ ВЕЛИЧИНУ

Если к '— характеристический корень матрицы А, а и — соответст­ вующий характеристический вектор, Аи = ки. Следовательно, в тех случаях, когда с — скалярная величина, сАи = ски, т. е. произведе­ ние ск представляет собой характеристический корень матрицы сА. Другими словами, если матрица А имеет характеристический корень

.к, то матрица сА имеет характеристический корень ск. Уравнение сАи = ски можно записать также в следующем виде: А (си) = к (си), отсюда следует, что если и представляет собой характеристический вектор матрицы А, то это относится и к вектору си.

1 Г

Пример. Дана матрица А = 4 1 , ее характеристическое урав­

нение имеет вид (1 — к)2 — 4, и, следовательно, характеристические корни равны 3 и —1. Запишем характеристическое уравнение матри­ цы ЪА\ (5 — к)2 = 100, решив это уравнение, получаем числа 15 и —5, т. е. корни матрицы 5А в 5 раз больше, чем корни матрицы А. Характеристический вектор матрицы А, соответствующий характе­

вектор, соответствующий к — 3.

3 2 5

д ) Т Е О Р Е М А К Э Л И — Г А М И Л Ь Т О Н А 1

Теорема Кэли—Гамильтона гласит: каждая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Это утверждение может оказаться полезным в тех случаях, когда известно характеристическое уравнение, но неизвестны его корни. Пользуясь характеристическим уравнением, можно представить мат­ рицу’ А п (или матрицу, возведенную в более высокую степень) в виде линейной функции от той же матрицы, возведенной в степень п — 1

ив более низкие степени. Аналогичным образом можно представить

иобратную матрицу А-1, если она существует.

Пример. Рассмотрим матрицу

Выпишем характеристическое уравнение матрицы А:

X2 — 9Х + 14 = 0.

В соответствии с теоремой Кэли—Гамильтона мы можем вместо А. подставить матрицу А:

Тогда матрицу А2 можно выразить через А, воспользовавшись уравне­ нием А2 — 9А + 14/ = 0. Действительно, А2 = 9А — 14/. Следо­ вательно,

А3 = 9А2 — 14А = 9 (9А — 14/) — 14А = 67А — 126/.

А* = 67А2 — 126А = 67 (9А — 14/) — 126А = 477А — 938/.

Аналогичное выражение можно получить и для обратной матрицы А-1, если она существует. Поскольку уравнение А2 — 9А + 14/ = 0, можно переписать в следущем виде:

Значит,

(А-1)2 — — (81/ + А2— 18А)= — (67/ —9А) и т. д.

Доказательство этой теоремы приведено в работе Сирла [9, с. 179]. (Чита­ тель может воспользоваться также рядом изданных в Советском Союзе пособий и работ, посвященных теории матриц; см., например, Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1967. — Прим, перев.).

326

Ее характеристическое уравнение имеет следующий вид:

А2 = 1,89А. + 0,89 = 0.

В соответствии с теоремой Кэли—Гамильтона Р2— 1,89Р + 0,89/ = 0. Переписывая это уравнение, находим

Р2 = 1,89Р — 0,89/,

следовательно,

Р3 = 1,89Р2 — 0,89Р = 1,89 (1.89Р — 0,89/) — 0.89Р =

= 2,6821Р— 1,6821/.

Так можно представить матрицу Р, возведенную в любую степень.

4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

в которых xt — вектор переменных, измеренных в момент t, причем начальное значение этого вектора равно х0.

Решив эти уравнения, мы сможем записать вектор xt в виде функ­ ции от его начального значения х0 и определить, имеет ли последова­ тельность x t предел, если i неограниченно возрастает.

Последовательно придавая t значения 1, 2, ..., находим

хх — Ах0 + Ь;

х 2 — Axi -Ь b = А (Ахо -j- Ь) -\- b — А 2х0 -f- (A -f- /) Ь\

х 3 = Ах2 + Ь = А [А2х0 + (А + /) Ь] + Ь = А 3х0 + (Л2 +

+ А + /) Ь\

х, = ЛV i + Ь - А % + (Л'-» + Л /—2 + ... + I) Ь.

В параграфе 6 главы V было показано, что если существует'(/ — Л)-1, то

/ + А + Л2 + ...+ А *-1 = (/ — А*) (/—Л)-1.

-------------- f

2В книге Голдберга [5] приводятся многочисленные примеры линейных ко­ нечно-разностных уравнений.

Следовательно, общее решение уравнений (12) имеет следующий вид:

(Отыскать значение А* здесь можно с помощью теоремы Кэли—Га­ мильтона.) Выясним теперь, будет ли вектор хи независимо от того, какое значение х0он имел в начальный момент, стремиться к некоторо­ му постоянному вектору, когда t стремится к бесконечности; из выра­ жения (13) можно вывести достаточные условия существования пре­ дела: для этого требуется, чтобы А 1-> 0 при t -у оо. В таком случае множитель (/ — А *) в выражении (13) будет стремиться к единичной матрице, а предел xt при t о о будет равен (/ — Л)-1 Ь.

Частным случаем соотношения (13) являются марковские цепи. Действительно, если вместо А взять Р', т. е. транспонированную мат­ рицу вероятностей перехода, а b = 0, тогда

= (Р’)% = (Р‘)'х0.

Допустим, что существуют стационарные вероятности (см. раздел г параграфа 3 главы VIII), обозначим их векторомх'. Тогда, по опреде­ лению,

х'

х'

lim Pf

t - . с о

х'

Следовательно,

lim xt = lim (Р‘У х0 = [хх ... х] х0

Однако в ситуациях, описываемых с помощью марковских цепей, хд представляет собой вектор вероятностей состояний и сумма его элемен­ тов равна единице. Таким образом,

limXj — [х х ... х]х0 = х;

t-*oо

другими словами, предел вектора xt образует вектор-столбец х, со­ ставленный из стационарных вероятностей, причем значения предела не зависят от того, какова величина элементов х0 (см. упражнение 15).

Пользуясь методами, описанными в параграфе 2, можно в общем случае исследовать вопрос, как выглядит предел последовательности A t (12). Допустим, что матрица А удовлетворяет условиям теоремы, при­ веденной в разделе в параграфа 2, и, следовательно, эту матрицу можно представить в виде произведения UDU_1; тогда, воспользо­ вавшись соотношением (8), находим

А* — UW и~г,

где D —диагональная матрица, ненулевые элементы которой образо­ ваны характеристическими корнями, а столбцы матрицы U представля­

328