Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

ют собой характеристические векторы, соответствующие этим корням. В таком случае, если D‘ -у 0, когда / -у о о , т о и Л ( -»-0 при / - > оо. Для того чтобы это имело место, каждый диагональный элемент мат­ рицы D (т. е. каждый характеристический корень) по своей абсолют­

чтобы каждый из характеристических корней матрицы А по своей абсолютной величине был меньше 1. Если же эти условия выполнены,

ние внешней торговли на национальный доход страны. Рассмотрим в качестве примера простейшую систему, состоящую только из двух стран и, следовательно, образующую набор векторов размером 2 x 1 ;

'доход стран 1 и 2 за период yt. Далее, примем следующие допущения:

2. Потребительские расходы на покупку производимых в стране товаров и услуг dt равны общей сумме совокупного потребления за вы­ четом стоимости импорта:

3. Внутреннее потребление и импорт в каждой стране представля-* ют собой некую постоянную долю национального дохода предшест­ вующего периода:

4. Чистые капиталовложения за любой равный промежуток вре­ мени представляют собой постоянную величину:

* 5. Экспорт одной страны равен импорту другой, поскольку мы рассматриваем всего две страны:

Подставляя выражения (15 ) и (17) в (14), находим

329

Уравнение (20) в точности соответствует выражению (12) xt = Axt^x + 4- Ь, поэтому его решение имеет следующий вид:

и yt У при t ->• оо. Подставляя в матрицу В различные постоянные коэффициенты рг (см. (20)), можно выявить влияние изменений в поли­ тике регулирования импорта на равновесный уровень национального дохода каждого государства.

Линейные конечно-разностные уравнения высших порядков можно сначала свести к системе уравнений первого порядка и затем приме­ нить рассмотренные методы поиска решений. Продемонстрируем тех­ нику таких вычислений на примере конечно-разностного уравнения второго порядка.

3 3 0

Пример. Возьмем конечно-разностное уравнение второго порядка

ных уравнений первого порядка. Это делается так: введем переменную yt — xt- x при t = 1, 2, ... Тогда уравнение (22) можно записать в та­ ком виде:

V

Теперь можно записать уравнение (22) в виде системы двух конечно­

5.ГЛАВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ

Вряде теорем сформулированьГусловия существования наибольше­ го, или главного, характеристического корня матрицы (см., например, книгу Фрейзера, Данкэна и Коллара [4, .гл. 4, ч. II]). На этих теоре­ мах основываются различные методы, позволяющие отыскать наиболь­ шее значение характеристического корня матрицы, не решая при этом характеристического уравнения. Указанные методы предусматривают

331

особую технику вычислений для тех случаев, когда уравнение имеет кратные корни, кратные главные корни и комплексные значения кор­ ней. Разработан также ряд практических способов, с помощью которых можно определить, имеет ли данное уравнение главный характеристи­ ческий корень. Однако мы не будем приводить эти теоремы, ограничимся описанием вычислительной процедуры, позволяющей определить зна­ чение наибольшего характеристического корня в тех случаях, когда он существует. В дальнейшем изложении всегда будет предполагаться, что уравнение имеет вещественный главный корень; из этого предпо­ ложения исходит, в частности, рассмотренный далее метод отыскания главного характеристического корня.

Ранее уже приводилось уравнение (7) А = UDU_1. Воспользуемся

теперь следующими соотношениями:

ледние можно считать нулями. Тогда соотношение (25) можно записать следующим образом:

332

ние г'-го элемента вектора wk к г-му элементу вектора wh-.x может быть выражено следующим образом:

Итак, допустим, что наибольший характеристический корень — Xj, причем при достаточно больших k величина Хк настолько превосходит

значения Хк, ..., Хкп, что уравнение (26) можно считать приблизитель­ но верным; в таком случае, как было показано, для произвольного не­ нулевого вектора х произведения А кх и Ак~ хх будут представлять собой соответственно векторы wh и wk- 1, а отношение их элементов равно Xv Но это означает, что произведение, полученное в результате повторных умножений матрицы А на вектор х, равно такому вектору wk, У которого отношение каждого элемента к соответствующему эле­ менту wh~i представляет собой одну и ту же величину, причем как раз это отношение оказывается наибольшим характеристическим кор­ нем матрицы А. Еместе с тем wk- x образует характеристический вектор, соответствующий этому значению характеристического кор­ ня, так как

Awk-i = А кх = wh = X-iWh-i-

В своих выводах мы предполагали, что соотношение' (26) представ­ ляет собой точное равенство, хотя в действительности такое равенствоможет быть лишь приблизительным. Точность аппроксимации за­

висит от значения k и от того, насколько Хк больше, чем Хк, ..., Хк, т. е.

от того, можно ли пренебрегать величинами Хк, Хк, ..., Хкп в выражении (25), считая их незначительными по сравнению с Хк. По мере увеличе­ ния величины k точность аппроксимации растет, так что, продолжая этот процесс, можно вычислить значение наибольшего характеристи­ ческого корня с любой требуемой степенью точности. Важно отметить, что формула (27) справедлива при любых значениях i, т. е. равенство соблюдается для всех элементов векторов wk и wh-i, или, что то же самое, для всех элементов А кх и Ак—'х. В вычислительной практике вряд ли отношения различных элементов вектора wk и соответствую­ щих элементов вектора wk^1 будут в точности совпадать при любой величине k\ на самом деле эти отношения будут различаться между

333.