Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

собой. Однако с увеличением k разность между различными отноше­ ниями элементов wk к соответствующим элементам wk- 1 будет умень­ шаться.

шего характеристического корня равно 3. Решение характеристическо­ го уравнения подтверждает справедливость этого вывода. Кроме того,

Проверить это заключение можно с помощью уравнения (4):

Поскольку в данном примере мы пользовались матрицей второго порядка, вычислительные операции были сведены к минимуму; од­ нако аналогичные расчеты можно проводить с матрицами любого по­ рядка. Операции с матрицами большой размерности требуют доволь­ но громоздких вычислений, однако с помощью быстродействующих вычислительных машин удается решить эту проблему. Итерационную процедуру вычислений следует считать оконченной лишь тогда, когда в пределах заданной точности отношения Wiik/witk-i окажутся ■одинаковыми для всех i. Однако можно воспользоваться и двумя дру­ гими критериями, недостаточно корректными с теоретической точки зрения, но во многих случаях дающими удовлетворительные практи­

334

ческие результаты. В соответствии с этими критериями итерационный процесс следует продолжать до тех пор, пока

ПП

либо

пп

Выбор критерия зависит от характера задачи, от эффективности вы­ числительного устройства и от применяемых методов, однако все эти вопросы выходят за пределы излагаемой темы. И все же отметим раз­ личия между альтернативными критериями, определяющими момент завершения итерационного процесса: один из них требует, чтобы были равны суммы отношений соответствующих элементов, а другой — чтобы были равны отношения сумм тех же элементов.

Пример. Главные характеристические корни могут использоваться в различных задачах, в том числе и в задачах, в которых рассматри­ ваются распределение машин по срокам службы и матрица вероятностей перехода (см. параграфы 1 и 2). Так, обозначим через хо вектор состоя­ ния машины в момент t = 0, а через Р — соответствующую матрицу вероятностей перехода; в таком случае вектор состояний машины в пе­ риод п есть х'п = х'оРп. Однако если система с ростом п стремится к не­ которому стационарному состоянию х (см. параграф 2 главы VIII), решение, соответствующее стационарному состоянию, можно найти, приравняв векторы состояний, относящиеся к п-му и (п + 1)-му пе­ риодам:

Xп-f-1— %п—"%

Тогда для стационарного состояния будет справедливо следующее соотношение

х' = х'Р.

Последнее выражение эквивалентно уравнению (Р’ — I) х = 0, или Р'х — х. Из этих уравнений непосредственно следует, что если суще­ ствует решение, характеризующее состояние устойчивости, то оно соот­ ветствует значению характеристического корня, равному единице, поскольку отношение wh/wk^x должно быть равно единице для того, чтобы выполнялось условие Рх' = х. Можно показать, что у транспо­ нированной матрицы вероятностей перехода характеристические корни по абсолютной величине не превышают единицы, поэтому характери­

3 3 5

стический корень, равный единице, представляет собой главный ха­ рактеристический корень1. Следовательно, характеристический век­ тор, соответствующий главному характеристическому корню, равно­ му 1, представляет собой вектор устойчивого состояния х. Значение этого вектора можно найти, решив уравнение (Р' — /) х = О сов­ местно с уравнением, в котором сумма элементов х приравнивается единице.

Если не существует характеристического корня, который в соот­ ветствии с нашим определением можно было бы назвать главным, то итерационная процедура не сходится и последовательность вычислен­ ных значений не имеет предела. Матрица А

6.РАЗЛОЖЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

До сих пор мы рассматривали такие примеры, когда для определе­ ния характеристических корней требовалось решить относительно Я квадратное или кубическое уравнение. Решение таких уравнений не представляло труда, однако, когда нужно найти характеристические корни матриц большой размерности, приходится решать уравнения высокой степени; так, если размеры матрицы равны 20 X 20, требуется отыскать корни многочлена 20-й степени. Допустим, что с помощью описанной процедуры найден главный характеристический корень, тогда аналогичным образом можно вычислить следующий по величине корень, предварительно отделив главный корень.

Изложим теперь методику отделения главного корня. Эта вычисли­ тельная процедура предполагает следующие операции. Обозначим

3 3 6

= Я2.) Тогда второй по величине характеристический корень матрицы А можно определить с помощью описанных ранее методов, отыскивая наибольший характеристический корень А — ихи[. Такая вычислительная процедура основана на следующей теореме.

Теорема4 Пусть Ях представляет собой любой характеристический корень матрицы А, а их — соответствующий характеристический век­

кроме корня, равного нулю, являются вместе с тем характеристиче­ скими корнями матрицы А. Другими словами, вместо Я корнем мат­ рицы А — Н]Ы[ будет нуль.

Пример. Дана матрица

1 1 О А 3 1 2 .

— 10 9 1

Ее характеристическое уравнение можно привести к следующему виду:

(Я — 2) (Я — 5) (Я+ 4) = 0.

Характеристический вектор, соответствующий значению характерис­ тического корня Ях = 5, равен

Выпишем характеристическое уравнение для матрицы А — ихи\:

Доказательство этой теоремы приведено в работе Сирла [9, с. 189].

337