Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Прибегнув к разложению определителя, находим, что

(2371)3 f- (2371)2474 — (2371) 449352 = О,

или

К (1 — 2) (1+4) = 0.

Наибольший из корней этого уравнения равен 2. Следовательно, 1 = 2 — второй по величине характеристический корень матрицы А.

Когда описанным способом пользуются для того, чтобы определить второй по величине характеристический корень матрицы, для отыска­ ния главных корней А и А — щи( обычно применяются методы, рас­ смотренные в предыдущем параграфе.

7. ПРИЛОЖЕНИЕ.

СИММЕТРИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ

Способы приведения симметрических и несимметрических матриц к эквивалентной канонической форме (см. параграфы 10 и 11 главы VI) мало отличаются друг от друга; это же относится и к приведению симметрических и несимметрических матриц на основе подобия к кано­ нической форме. Допустим, например, что А представляет собой сим­ метрическую матрицу А = А', в таком случае можно привести А к диа­ гональному виду с помощью преобразования U~lAU = D, поскольку матрица U ортогональна (Т/-1 = U', см. параграф 5 главы V), так что

U'AU ----- D. Матрица D называется канонической формой, полученной на основе преобразования ортогонального подобия. Покажем теперь, как проводится такое преобразование, причем мы снова будем рассматри­ вать порознь два случая: когда все характеристические корни раз­ личны и когда они кратны.

а) СЛУЧАЙ, КОГДА ВСЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ РАЗЛИЧНЫ

Если 11 и Kh представляют собой два различных характеристиче­ ских корня матрицы А, а нг и uk — характеристические векторы, со­ ответствующие этим значениям корней, то

Ащ = 1гUi и Auk = 1huk.

Поскольку A — симметрическая матрица и А = А', а скалярные ве­ личины при транспонировании не меняются, используем приведенные равенства для следующих преобразований. Произведение

1iUkUi = u'k (1,-Иг) = u'kAui — ulAuk = u'i’kkuk = 1b.u\uk =

1

представляет собой скалярную величину. Если 1г Ф l fe, такое равен­ ство может быть справедливо только в том случае, когда u'k Ui = 0. Поскольку мы предположили, что все характеристические корни различны, любая пара корней будет удовлетворять этому условию.

3 3 8

Следовательно, в случае различных характеристических корней можно найти такие столбцы матрицы V ~ \ u x «2...«„], которые, удовлетворя­

Значения ее характеристических корней.А равны—1, —4 и 11. Подстав­ ляя в уравнения {А—Аг/)«г -~= 0 каждое из значений характеристических корней и решая эти уравнения, находим характеристические векторы.

Теперь пронормируем каждый столбец; с этой целью разделим все эле­

тов третьего столбца. Следовательно, после нормирования столбцов матрица U будет следующей:

6) СЛУЧАЙ, КОГДА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ КРАТНЫ

Мы показали, что двум различным-корням симметрической матри­ цы Xi и Aft соответствуют такие характеристические векторы «; и «ь, что u'i «ft = 0. Остается показать, что для кратного характеристичекого корня можно построить систему взаимно ортогональных характе­ ристических векторов. Обозначим через Хд корень кратности тд. Тогда для любой матрицы Л, удовлетворяющей условию б/_1Л1/ = D,

339-

r (A — kqI) = (п—тд) (см. раздел в параграфа 2), и, следовательно, система уравнений (А —A,„/)w9 = 0 имеет mq линейно-независимых решений относительно uq. Одно из этих решений обозначим через vql\ тогда мы получим систему уравнений относительно uq.

(А — \ I ) u q = О

Эта система уравнений имеет mq— 1 линейно-независимых решений от­ носительно uq, причем любое из них, скажем, решение vq2, представля­ ет собой характеристический вектор матрицы А, который ортогонален вектору vql. Вместе с тем vg2 ортогонален любому другому характе­ ристическому вектору, который соответствует отличному от А, характе­ ристическому корню, так как характеристические векторы, соответ­ ствующие различным характеристическим корням симметрической матрицы, всегда ортогональны. Далее рассуждаем аналогичным обра­ зом: если mq > 2, можно определить третий вектор, соответствующий значению Кд, решив систему

(А - XqI)uq = 0;

Эта система имеет mq—2 линейно-независимых решения относительно uq. Такой поиск характеристических векторов мы будем продолжать до тех пор, пока не будут найдены тд взаимно ортогональных реше­ ний. Вместе с тем каждый из найденных векторов будет также орто­

А2 2 — 2

1 — 2 — 1

Ее характеристические корни к = 4, —2 и —2. Прежде всего определим ранг матрицы (Л—Х2/), подставив в нее значение кратного корня = = —2:

а 2 — кратность характеристического корня). Поэтому существу-

3 4 0

ют такие характеристические корни матрицы Л, что возможно преобра­

ский вектор, соответствующий значению К = —2, можно определить, решив следующую систему уравнений:

рица, диагональные элементы которой имеют значения 4, —2 и —2.

341

в) Д Е Й С ТВИ ТЕЛ ЬН Ы Е Х А Р А К ТЕ Р И С Т И Ч Е С К И Е К О Р Н И

Характеристические корни матрицы n-го порядка являются корня­ ми характеристического уравнения, представляющего собой много­ член n-й степени от X. Поэтому корни этого уравнения, вообще говоря, необязательно должны быть действительными числами, среди них могут встречаться и пары комплексных чисел, например а -(- ib и

а—ib, где i = \ f —1, а через а и Ь обозначены действительные числа. Однако если А — симметрическая матрица и среди ее элементов нет комплексных чисел (т. е. все элементы А представляют собой действи­ тельные числа), то такая матрица не может иметь комплексных харак­ теристических корней. Доказательство этого утверждения содержится в работе Сирла [9, с. 192].

г) ПОЛОЖИТЕЛЬНО ПОЛУОПРЕДЕЛЕННЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ

Вернемся к общему виду квадратичной формы, рассмотренному в параграфе 3 главы III: z = х'Ах, где А представляет собой симметри­ ческую матрицу ранга г. Характеристические корни А —это действи­ тельные числа; если матрицу А можно привести к канонической форме с помощью ортогонального подобия, тогда

где U — ортогональная матрица, a D* — диагональная матрица, содержащая г ненулевых характеристических корней А. Предположим, что нам нужно воспользоваться линейным преобразованием (см. параграф 1 главы III), переходя от х к новым переменным у. у = U'x. Это эквивалентно х = U'~x у — Uy. В таком случае

i = 1

yt не может быть отрицательной; стало быть, все Яг (i = 1, ..., г) должны иметь положительные значения. Другими словами, характе­ ристические корни положительно полуопределенной симметрической матрицы всегда представляют собой положительные действительные числа.

Пример. Предположим, что с помощью вектора х мы описываем сис­ тему, которая состоит из п независимых случайных величин, характе­ ризующихся нормальным распределением и нулевым математическим ожиданием; ковариационную матрицу полагаем равной о2/. В таком случае и вектор у = U'x, где U—ортогональная матрица, будет обла-

342