Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

дать теми же статистическими свойствами. К тому же величина z = х'Ах, где А — положительно полуопределенная симметрическая матрица r-го ранга, характеризуется распределением о2% с г степенями свобо­ ды. К этим выводам можно прийти в результате следующих рассужде­ ний.

Пусть Е (х) = О, Е (хх') — о2/ и у = U'x, в таком случае матема­ тическое ожидание у имеет следующий вид:

Е(у) = Е (U'x) = U'E (х) = О,

*

аковариационная матрица случайных величин у равна:

Е(уу') = Е (U’xx’U) = U'E (xx')U = a2U'IU = о2/.

Рассмотрим теперь выражение z = х'Ах, где А — положительно полу­ определенная симметрическая матрица ранга г; в таком случае сущест­ вует матрица U, которая удовлетворяет следующим условиям: U'U — = I и U'AU — D, где D — диагональная матрица, содержащая г дей­ ствительных положительных ненулевых диагональных; элементов (обозначим их, к примеру, через %1, ..., Хг). Следовательно, переходя к новым переменным у = U’x, можно записать соотношения:

Г

z — х'Ах = y'Dy == У'Ягг/?, i~ l

причем у |— совокупность нормально распределенных случайных вели­ чин с нулевы м математическим ожиданием и ковариационной матрицей, равной о2/. Поэтому, каждая случайная величина у\ характеризует­ ся распределением %2 с одной степенью свободы, т. е. распределением о2хIПоскольку множители Я положительны, z представляет собой сумму г независимых случайных величин Ягу2, каждая из'которых рас­ пределена в соответствии со значениями Ящ2%\. В тех случаях, когда Яга2 = 1 (см. параграф 3 главы XIII), случайная величина х'Ах харак­ теризуется распределением %j.

Упражнения

1. Найдите характеристические корни и характеристические векторы при­ веденных матриц. В каждом случае составьте из характеристических векторов матрицу U и проверьте, справедливо ли равенство U~1AU = D, где D ■— диаго­ нальная матрица, в которой диагональными элементами служат характеристи­ ческие корни исходной матрицы.

. 343

2. С помощью значений матриц, приведенных в упражнении 1, покажите, что F = В2 + В. Покажите также, что если X — характеристический корень матрицы В, то X2, + к — характеристический корень матрицы F. Докажите следующее общее утверждение: пусть матрица F представляет собой многочлен от матрицы А, тогда все значения характеристических корней F можно полу­ чить, подставив в этот многочлен соответствующие значения характеристических корней А.

3. Рассмотрим общий вид транспонированной матрицы вероятностей пере­

Составьте характеристическое уравнение матрицы Р' и, разложив этот многочлен на множители, найдите два характеристических корня матрицы. Покажите, что ни одиниз характеристических корней по своей абсолютной величине не может превосходить единицу.

4. Найдите характеристические корни следующей матрицы:'

5. Льюкэс [6 ] предложил теоретическую модель спроса на капитальны блага, в которой предусмотрен механизм приспособления к новым условиям, известный под названием «гибкого акселератора». Рассмотрим упрощенный

244

вариант этой модели. Обозначим через xf желательные размеры капитала, а че­ рез х'% — желательные масштабы применения труда. В таком случае вектор х* характеризует желательные масштабы применения капитала и труда, тогда как вектор хп — размеры действительно используемого в период п капитала и тру­ да. Введем следующее уравнение, характеризующее механизм приспособления производственных ресурсов к новым условиям:

Вычислите характеристические корни матрицы В и проверьте, действительно ли эти корни по своей абсолютной величине меньше 1 (условие, обеспечивающее

а) Запишите в векторной форме разностное уравнение, которое характе­ ризовало бы размеры заказа (на оба товара) в п-й месяц как функцию заказов, сделанных в предыдущем месяце.

б) По приведенным в таблице данным найдите характеристические корни матрицы, соответствующей а. Проверьте, действительно ли эти корни по своей абсолютной величине меньше 1, т.е. выполняются ли условия, обеспечивающие сходимость рассматриваемого процесса.

в) Предположим, что коэффициент приспособления для первого товара ра­ вен не 0,5, а 1,5. Каковы теперь значения характеристических корней? Будут ли оба корня меньше 1 по своей абсолютной величине? Опишите, что будет проис­ ходить с первым элементом вектора хп по мере того, как п будет неограниченно увеличиваться.

7. Езекиэл [2] при построении паутинообразной модели " использовал простейший принцип рыночного равновесия, который можно представить с по­ мощью системы конечно-разностных уравнений. Рассмотрим, например, сле­ дующую модель (все символы в ней представляют собой скалярные величины):

где Dt — размеры спроса на товар; S; — размеры предложения; pt — уровень рыночной цены. (Берутся значения всех этих переменных за период t, a md, ms, bd и bs представляют собой параметры.) Поскольку в нашей модели

S;+i — функция от pt, тем самым задается динамический рыночный меха­ низм, функционирование которого приводит к изменению цен во времени.

а) Составьте конечно-разностное уравнение первого порядка, характери­

где а — предельная склонность к потреблению; Р — коэффициент акселерации;

двух матриц, значения которых приведены в упражнении 1. Применяя метод разложения на множители, описанный в параграфе 6 , найдите два других ха­ рактеристических корня.

11. Разложите на множители характеристическое уравнение матрицы

a b b

Л = b а b

b b а

взяв значение характеристического корня X = а + 26. Затем проделайте ту же процедуру при значении корня X = а — Ь.

" 1 0 0

X У г

1 0 0

0 V 0

0 0 г

346

возведенная в k-ю степень, равна:

целом отрицательном k, если существует А -1 .

15. а) В упражнении 3 была приведена транспонированная матрица ве­ роятностей перехода размером 2 X 2 .

1 — P2Z

Ра .

С помощью решения упражнения 3 найдите диагональную матрицу D, в которой диагональными элементами являются характеристические корни Р ', а также соответствующую матрицу U, удовлетворяющую условию Р' = UDU~х.

б) Полагая, что все элементы матрицы Р положительны и используя вы­