ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 0
§ 3. Количественные характеристики надежности
Для измерения свойства машины, называемого надежностью, ис пользуется вероятностная мера. Величина надежности машины определяется как вероятность того, что при определенных режимах и условиях эксплуатации в пределах заданной продолжительности работы машины отказ не возникнет.
Для количественной оценки надежности, разработки правил профилактики и изучения ремонтопригодности машины кроме ве роятности безотказной работы используются такие важные харак теристики, как интенсивность отказов и время безотказной работы,
распределение отказов в течение требуемого интервала времени и др.
Время работы машины между двумя устранимыми отказами называется временем безотказной работы. Время безотказной ра боты считается непрерывной случайной величиной. Точечной оцен кой этой переменной является среднее значение наработки на от каз (или до отказа).
Количественное значение надежности машин оценивается с по мощью функции распределения вероятностей
с\э
|
\ |
(5.1) |
|
|
|
г д е Р ( 7 > 0 — означает |
вероятность события, состоящего в |
том, |
что машина отработает безотказно более t единиц |
||
времени; |
плотности распределения интервала |
вре |
/( / ) — функция |
||
мени безотказного функционирования машины; она выражает относительное число случаев безотказной работы в течение t единиц времени.
При исследовании и решении задач, связанных с проектирова нием систем ремонта и расчетом ресурсов, необходимых для ре монта машин, исходной переменной служит показатель ненадеж ности. Ненадежность оценивается вероятностью события, состоя
щего в том, что отказ элемента наступит на интервале (0, t). |
Зна |
чение указанной вероятности определяется из соотношений |
|
Я ( Г > 0 + Р ( 0 ^ ^ < 0 = 1, |
(5.2) |
где/э( 0 ^ Г <Д )— означает вероятность того, что Т — срок службы элемента будет менее t.
Пользуясь выражением (5.1), можно определить значение не надежности единичного элемента по формуле
t
Я ( 0 < г < 0 = \f ( t ) d t .
о
Функция плотности вероятности f(t) случайной величины есть не что иное, как плотность распределения времени работы ма-
75
шины до ее отказа, численно равная взятой с обратным знаком производной от вероятности:
f ( 0 = |
d P { T > t ) |
d P (0< T < t ) |
(5.3) |
|
dt |
dt |
|||
|
Другими числовыми характеристиками надежности восстанав ливаемой машины кроме функции плотности распределения ин тервала безотказной работы являются математическое ожидание (или статистическое среднее) наработки между отказами машины и дисперсия, служащая характеристикой колебаний величины на работки относительно ее среднего значения.
Статистическое среднее наработки машины до отказа опреде ляется по формуле
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
2 |
т 1п1 |
|
|
|
|
т |
/=1 |
|
> |
(5.4) |
|
|
/г |
|
|||
|
|
|
2 |
|
ni |
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
где |
от,-— зафиксированное |
время |
|
безотказной |
работы элемен |
|
|
тов; |
|
с временем безотказной работы, рав |
|||
|
пг— число элементов |
|||||
|
ным пц\ i = l, |
2, |
..., к — номера, присвоенные разрядам |
|||
|
значений случайной величины. |
|
||||
Математическое ожидание наработки между двумя отказами |
||||||
ремонтируемой машины |
(и |
наработки до отказа неремонтируе- |
||||
мой) |
определяется по |
формуле |
|
|
|
|
ft
i—\ |
(5-5) |
|
где f(t{) — плотность вероятности, определяемая по формуле (5.3). Численное значение дисперсии определяется по формуле
|
k |
|
02 = |
2 ("С- — ~т)Ч (*/), |
(5.6) |
где rrii, т , f(ti) — то же, что и ранее. |
числа |
|
Интенсивность отказов |
представляет собой отношение |
|
отказавших в единицу времени элементов к среднему числу эле ментов, исправно работавших в данном отрезке времени. По опре
делению статистическое значение |
интенсивности отказов |
равно |
х (0 = |
пот (О |
|
Л/срДТ ’ |
|
|
где /10Т— число отказавших элементов в ^-м интервале |
времени; |
|
At— единичный интервал времени; |
|
|
N cр — среднее число исправно работавших элементов в интер вале At.
76
Исследования интервалов безотказной работы и интенсивности появления отказов деталей машин показали, что для математиче ского описания надежности лишь небольшое число функций удов летворяет большинству требований. Оказалось, что применительно к деталям строительных машин и к этим видам машин приходится ограничиваться использованием функций нормального и показа тельного (экспоненциального) законов распределения вероятно стей.
При использовании экспоненциального закона распределения вероятность появления отказа за время t определяется по фор муле
P ( t ) = l - e ~ u, |
(5.7) |
а плотность распределения вероятностей отказов — по формуле
/ (t) = le~xt, |
(5.8) |
где X— среднее значение числа отказов, происходящих в единицу времени.
Среднее время функционирования элемента до появления от каза в атом случае составит
т = ^ ~ . |
(5.9) |
Экспоненциальный закон широко используется в теории на дежности. Это обусловлено тем, что экспоненциальный закон есте ствен, прост и удобен для применения. Почти все задачи, возни кающие в теории надежности для экспоненциальных законов рас пределения, оказываются на порядок проще, чем для других за конов. Почти все формулы в теории надежности машин и теории систем обслуживания в случае экспоненциального закона резко упрощаются. Указанные преимущества экспоненциального закона распределения обусловлены главным образом тем, что этот закон «не помнит прошлого»; для экспоненциального закона вероятность появления отказа машины в данном интервале времени (t, / + Д/) не зависит от времени, предшествующей работы /, а зависит только
"от длительности интервала Д/. Иными словами, если известно, что
вданный момент машина исправна, то будущее ее поведение не зависит от прошлого.
Пример. Установлено, что детали экскаватора приходят в неис правное состояние по мгновенной схеме отказов со средней интен сивностью Х = 0,5 1/месяц. Предполагается, что эти детали явля ются элементами последовательной системы, следовательно, отказ любой из деталей приводит в неисправное состояние весь экскава
тор. |
Требуется определить надежность экскаватора на интервале |
t= 2 |
месяца. |
Для рассматриваемых условий можно воспользоваться показа тельным законом, выраженным функцией (5.1) с учетом формулы
77
(5.8). Вероятность того, что экскаватор отработает безотказно не менее двух месяцев, составит
со
Р (Т > 2) = f 0,5<Г0,а dt — \ ~ e~d'5t|Г = 0,367.
2
Следовательно, вероятность безотказной работы экскаватора в те чение предстоящих двух месяцев составит 37%, а вероятность того, что за это время потребуется его ремонт — 63%, хотя сред
ний срок безотказной работы экскаватора равен m= y — у у = = 2 месяцам.
Из этого примера видно, что для решения задач надежности с помощью экспоненциального закона достаточно располагать зна
чением всего лишь одного параметра: либо X, либо т . Именно это обстоятельство облегчает и упрощает решение многих задач.
Однако во многих практических задачах надежности отдель ных элементов машин (и других видов техники), особенно при ис следовании и расчете времени безотказной работы деталей, под вергающихся постепенному изнашиванию и старению, экспонен циальный закон обычно не обеспечивает желаемого уровня точно сти. При решении таких задач прибегают к использованию других законов распределения и в первую очередь к закону нормального распределения, закону Вейбулла и др.
Для определения вероятности появления отказа элемента ма шины в течение заданного интервала времени t, когда интервал безотказной работы распределяется по нормальному закону, ис пользуется следующая зависимость:
t |
(t—m-У |
|
P ( 0 ^ T < t ) = - ^ [ e ~ |
2аа dt, |
(5.10) |
о V 2it g |
|
|
где т и а — параметры распределения;
t— значение случайной величины — времени безотказной работы.
Если обозначить через и—— ■ т и полагать т = 0, а а = 1, то
получим выражение нормированной и центрированной функции нормального распределения, называемой функцией Лапласа:
и и2
^°(u)=i/WXe' (5Л1)
Функция (5.11) табулирована для значений и от 0 до 5 через
0,01 [ 20].
78
При этом следует учитывать, что |
|
|
|
||||
|
^о( — » |
) |
= * |
! |
• |
(5.12) |
|
Из приведенных соотношений следует, что вероятность отсут |
|||||||
ствия отказа на промежутке от 0 до t будет равна |
|
||||||
|
СО |
|
|
|
|
_ |
|
|
Р (0 = j / ( 0 dt = |
1 - |
F0 (t) = |
Д0 (-^=1) . |
(5.13) |
||
Плотность распределения интервала безотказной работы равна |
|||||||
первой |
производной от |
функции |
(5.10) |
по t, взятой с |
обратным |
||
знаком. |
Аналитическое выражение f(t) |
имеет вид |
|
||||
|
№ |
в у .— ехр |
(t—т )2 |
(5.14) |
|||
|
|
2? |
|
||||
где т , о и t — то же, что и ранее.
Пользуясь выражениями функции (5.11) и плотности (5.14) нормального распределения, можно аналитически определить ин тенсивность отказов элемента, на интервале t. Для этого исполь зуется. следующее уравнение:
t — т
МП |
f i t ) |
?0 |
|
|
1 __ 1 , I т — t |
|
P i t ) |
|
т — t |
Г п Д |
|
||
Обозначая через и = —- |
- , |
получим |
|
|
||
|
Х ( 0 |
= ф |
/ |
, ( » ) |
= 4 - ^ , |
(5.15) |
где fi {и) — табулированная |
функция [20]; |
|
||||
90 (~~ стW) — сокращенная |
запись функции (5.14) плотности ве |
|||||
роятности нормального распределения (табулиро |
||||||
ванная функция [20]); |
|
|
||||
— сокращенная |
запись функции вероятности отсутст |
|||||
вия отказа,-то же, что и в функции (5.13); |
функция |
|||||
табулирована |
[20]. |
|
|
|||
Для иллюстрации порядка получения оценки надежности ма шин с помощью функций закона нормального распределения рас смотрим следующий пример.
Пример. Дано: деталь экскаватора характеризуется следую
щими параметрами: т = 2 месяца; ст=1,4 месяца. Экскаватор оста навливается, как только откажет одна из деталей. Требуется опре^ делить вероятность того, что экскаватор отработает безотказно t — = 1, 2 и 3 месяца.
79