Файл: Немкевич, А. С. Конструирование и расчет печатающих механизмов-1.pdf

может быть названо характери­ стической длиной (мера затухания процесса с увеличением расстоя­ ния).

ближенное решение, распространяющееся и на этот случай, получается из выражения (252), если отказавшись от линейной аппроксимации функции 1г (гео) заменить ее некоторой фикси­ рованной величиной / х (га0), где со0 варьируется из условия

наилучшего приближения. Такая замена допустима, тем более,

для некоторого значения со0, определяемого условием наилучшего приближения, находим аналогично соотношению (253):

со +

На рис. 88 приведены графики распределения j (х), получен­

ные по формулам (253) и (256) и свидетельствующие о существен­ ном различии между ними. Из этого следует необходимость про­ ведения расчетов по уточненной формуле (256), свободной от ограничений величины R. Найденное таким образом приближение

более высокого порядка имеет довольно громоздкий вид по сравне­ нию с формулой (253).

Однако преимущество формулы (253), состоящее в простоте и удобстве экспоненциальной формы решения, снижается из-за ограниченности ее для области больших поляризационных сопро­ тивлений R. Поэтому целесообразно получить компромиссное

решение, сохраняющее все преимущества решения по формуле (253),

198

но распространяющееся на широкую область значений R. Это

даст также возможность перейти к изучению трещин ограничен­ ной длины.

Применим к первому члену уравнения (245) преобразование Фурье и используем теорему о свертке:

где функция б (т — х, г) описывает взаимное влияние единичных элементов тока, зависящее от расстояния между ними т — х.

Обратный переход к оригиналу проведем с фиксированием пара­

такая операция фиксирования 0 (иу0, г) означает пренебрежение зависимостью функции 0 (т— х, г) от осевой координаты и, сле­

довательно, влиянием токов / (т) соседних элементов трубки друг на друга, причем сохраняется только влияние на потенциал точек среды v (х, г) со стороны радиально направленных токов

поляризации / (х), выражаемое уравнением (258). Здесь очевидны следующие соотношения:

где I (х) — полный осевой ток в электролите через поперечное

сечение трубки.

В таком приближении подразумевается эквипотенциальность электролита в поперечном сечении трубки. В самом деле при достаточно малых г, чтобы можно было принять допущение об эквипотенциальности сечения, имеем I x (<rt) rtl2, и тогда (250)

преобразуется так, что градиент э. д. с. оказывается равным градиенту потенциала вдоль оси трубки, создаваемому током q.

Наличие утечки приводит к появлению зависимости градиента потенциала от осевой координаты х через зависимость осевого тока в каждом элемента трубки от его положения на оси [вместо постоянной величины q имеем /(х )]. Здесь утечка сказывается

199

на величине осевого тока I (х), но отсутствует «полевое» влияние

токов утечки на потенциалы по оси трубки вследствие допущения об эквипотенциальности сечения, и тогда выполняется (260).

Подставляя выражения (258), (259) и (260) в (249), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

скобках.

Решение этого дифференциального уравнения при граничных условиях / (0) = q и / (оо) = 0 имеет вид (253), где вместо yj имеется у.

Таким образом, первое приближение (253) удовлетворяет уравнение такого же типа, как (261). Разница состоит лишь в опре­ делении коэффициента у, отличающегося от у г тем, что этот коэф­

фициент учитывает сопротивление растеканию тока со стенки внутрь трубки по нормали к поверхности стенки. Это сопроти­ вление

суммируется с R.

Разделение полного сопротивления поляризующему току Rn на R и R3 оказалось возможным благодаря упрощению выра­

жения (258), которое подразумевает разложение тока в электро­ лите на две составляющие: полный ток I (х) вдоль оси трубки и поляризующий ток j (х), нормальный к стенке трубки. Причем

первый ток создается градиентом потенциала вдоль оси и течет через сопротивление единицы длины р/лг2, а второй — градиентом в радиальном направлении и течет последовательно через сопро­ тивления R и R3.

Следующая задача состоит в оптимальном с точки зрения наи­ лучшего приближения выборе величины параметра со0.

При достаточно большом поляризационном сопротивлении R, когда вторым слагаемым в формуле (262) можно пренебречь,-у = у 1#

изменения рассматриваемых величин и его направление при изменении R, логично определить со„ = 1 /у и решать трансцен­ дентное уравнение (262) для вычисления у.

2 00

Уравнения (261) и (266) могут приближенно описывать капил­ ляры любой конфигурации, в том числе извилистые. В последнем случае величина х будет равна длине, отсчитываемой вдоль капил­ ляра от его начала. Аналогичные по форме уравнения получаются для модели трещины в виде тонкой щели. Эти уравнения допускают решения для случаев капилляра или трещины ограниченной длины и криволинейной конфигурации, которые наиболее отра­ жают реальные условия.

Необходимо отметить следующее обстоятельство. Полное со­ противление ‘растеканию тока внутрь трубки Rn складывается из сопротивлений R и R 3. Сопротивление растеканию тока в элек­ тролите R3 является линейным, тогда как R включает в себя

сопротивление электрохимической поляризации, которое в общем случае нелинейно. Однако при отсутствии покровных пленок,

сопротивление электрохимической поляризации. Если же покров­ ные пленки имеются, то их сопротивление, также линейное по характеру, намного превосходит сопротивление электрохими­ ческой поляризации. Таким образом, величина R n в данном слу­

чае имеет характер почти линейного сопротивления, и для расчета распределения плотности тока электрохимическая цепь может рассматриваться как линейная цепь. Вместе с тем при определении только электрохимической поляризации в отсутствие покровных пленок скачок потенциала может выражаться через 'найденную плотность тока нелинейной кинетической зависимостью. С этой точки зрения электрохимическую цепь внутренней полости трубки можно рассматривать по аналогии с гальваностатической цепью.1

1 При больших поляризационных сопротивлениях (R > Яэ) эта величина переходит в величину электродного потенциала в обычном понимании — скачка потенциала на границе фаз.