Файл: Немкевич, А. С. Конструирование и расчет печатающих механизмов-1.pdf

где Р < 0, т. е. рост абсолютной величины отрицательного да­

вления при всестороннем растяжении тела также приводит к росту термодинамического потенциала.

Поэтому можно говорить о симметричности термодинамического (изобарного) потенциала твердого кристаллического тела в том смысле, что локальное значение химического потенциала в точке определяется абсолютной величиной гидростатической части тен­ зора напряжений независимо от направления механической силы— растягивающей или сжимающей твердое тело (относительно рав­ новесного положения с нулевыми силами). Подобный анализ можно провести для любого главного значения тензора напря­ жений (рассматривая изменения соответствующих компонент тензора деформаций), чтобы сделать заключение о симметрии тер­ модинамического потенциала Гиббса по знаку/ компонент тен­ зора напряжений (относительно недеформированного состояния).

Модель упругого граничного слоя

Уравнения состояния твердых тел в отличие от уравнений состояния идеального газа содержат члены, обусловленные как кинетической энергией колебания частиц, так и потенциальной энергией сил взаимодействия. Поэтому в общем случае для опи­ сания твердых тел может быть использована теорема вириала для соотношения кинетической и потенциальной энергий. Со­ гласно этой теореме средняя во времени удвоенная кинетическая энергия частиц системы со знаком «минус» равна средней во вре­ мени величине вириала системы

[ E * / i ] c P,

где х,- — координаты;

Ft — сила в направлении данной координаты [9].

В частности, из этой теоремы получаются известные уравне­

V — объем одного грамм-атома кристалла.

Однако приведенные уравнения не содержат ответа на вопрос о роли сложно-напряженного состояния твердого тела, так как уже при их выводе предполагается наличие только изотропного всестороннего давления. Поэтому необходимо рассмотреть урав­ нение состояния твердого тела в случае произвольного распреде-

18

Ления внешних сил Р(, прикладываемых к его поверхности. Длй

этого прежде всего требуется найти «внешнюю» часть вириала,

т. е. величину [2 *,--Р,]ср.

Вычислим вириал внешних сил, действующих на тело, поль­ зуясь методами механики сплошной среды. Условия равновесия

Учитывая, что произврдная в последнем интеграле равна единичному тензору SiA, и преобразуя первый интеграл правой части по теореме Гаусса в интеграл по поверхности, находим

значение (по объему) следа тензора напряжений как Spaik, по­

лучим

Следовательно, вклад в вириал со стороны внешних сил равен:

к уравнению (34), но исходя из скорректированной с учетом ура­ внения (40) записи теоремы вириала, получим уравнение сложно­

В частном случае изотропного всестороннего давления это урав­ нение переходит в уравнение Ми—Грюнайзена. Отличие состоит в замене, величины изотропного всестороннего давления средней

(по объему) величиной шаровой (гидростатической) части тензора напряжений, поделенной на единичный тензор со знаком «минус».

В случаях неидеальных систем, к которым относится твердое тело, когда термодинамические активности значительно отли­ чаются от концентраций, применение молекулярных значений таких парциальных термодинамических характеристик, как хими­ ческий потенциал, вместо макроскопических больше соответствует физическому смыслу и предпочтительнее.

Действительно, например, при одноосном нагружении тела, каждый элементарный объем должен испытывать всестороннее давление, равное одной трети от приложенного одноосного напря­ жения, как это следует из модели сплошной среды. Но этот ре­ зультат вовсе не очевиден для дискретной модели кристалличе­ ского тела в применении к отдельным частицам,- из которых сло­

и весьма малое при достаточно низких температурах. Следо­ вательно, и в случае дискретного строения деформированного твердого тела его отдельные атомы испытывают локальное по­ тенциальное изотропное давление, определяемое шаровой частью макроскопического тензора напряжений, как это следует из уравнения состояния (42). Поэтому обусловленное механическими напряжениями приращение «объемного» химического потенциала атома внутри тела (т. е. зависящего от изотропного локального давления) определяется шаровой частью макроскопического тен­ зора напряжений.

Тензор напряжений можно представить в виде суммы гидро­ статической части (всестороннего растягивающего напряжения Р) и дополнительных напряжений o'ik, удовлетворяющих условию

равенства нулю изменения объема в таком дополнительном напря­

eik — тензор деформации.

20

Тензор Gik является девйатором Фёнзорй напряжений сг,^

иможет быть выражен комбинацией касательных напряжений. Соотношение между девйатором напряжения и деформациями эквивалентно соотношению между касательными напряжениями

исдвигом (предполагается, что касательные напряжения вызы­ вают только сдвиг1). Деформации, при которых не изменяется объем тела, в дальнейшем будем именовать сдвигом (ламинарный сдвиг). Для него в случае гукова тела записывается реологи­

ческое уравнение

Сдвиг происходит без. изменения объема тела, но с изменением величины поверхности А. Поэтому работу сдвигающих напряже­ ний в однородном теле объема V можно представить в виде:

где

Полная механическая работа сил внутренних напряжений складывается из двух частей: работы изменения объема и работы изменения площади поверхности 2:1

где второе слагаемое представляет работу сил поверхностного

натяжения а поизменению площади поверхности или работу

формоизменения, зависящую от произведения интенсивности ка­ сательных напряжений на интенсивность деформации сдвига.

Определенное нами, таким образом, понятие поверхностного натяжения распространяется на однородные и неоднородные фазы с ненулевым модулем сдвига.

Изменение площади поверхности 6Д равно:

1 Без учета эффектов второго порядка малости типа эффекта Пойнтинга, обусловленного упругой дилатансией (изменением объема, зависящим от ква­ драта величины касательных напряжений).

2 В литературе эту работу называют работой формоизменения.

21