Файл: Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач-1.pdf

После подстановки полученных выражений вибрирующих реак­ ций в характеристическое уравнение (VII.36) получим

Отсюда непосредственно определяем собственные частоты сис­ темы. Заменяя индекс k на /, будем иметь

(VII.50)

(/ = 1 ,2 ,... , п — 1)

Введем безразмерный параметр ат , принятый в § VI 1.4. В дан­ ном случае его. определяют так:

Qi

(VII.51)

т ml ql

202

Тогда собственные периоды системы молено представить в сле­ дующем виде:

Графики множителей cpi даны в приложении II.

Определим теперь коэффициенты разложения Д . Используем общую формулу (11.52). Поскольку в данном случае, кроме распре­ деленных масс пролетных строений, имеются еще сосредоточенные массы опор, к сумме интегралов в этой формуле надо добавить со­ ответствующие дискретные суммы по этим массам. Обозначим через Х{(х) -собственные функции, описывающие ломаные линии смеще­

ний по собственным формам с вершинами X°j (рис. VII.27). Не­ трудно убедиться, что коэффициенты разложения будут определять­ ся выражением

где L = nl — полная длина моста.

Для антисимметричных форм колебаний Д = 0 (г= 2, 4, 6, ...) *. При симметричных формах (г= 1, 3, ...) формулу (VII.54) можно представить в более простом виде. Опуская промежуточные выклад­ ки, дадим окончательную формулу

2 -|- Зат -{- cos —

п

Графики для определения коэффициентов Di также приведены в приложении II.

Далее без труда можно получить формулы для сейсмических сил и усилий. Инерционная нагрузка, соответствующая i-й форме колебаний, -состоит из сосредоточенных сейсмических сил (от масс опор 1П\°, приложенных в их верхних точках) и распределен­ ных сейсмических сил st (x) от массы пролетных строений. Соглас-

* Физический смысл этого состоит в том, что плоская поперечная сейсмиче­ ская волна, вызывающая одинаковое смещение оснований всех опор, не возбуж­ дает колебаний по кососимметричным формам.

но общим формулам (11.29) — (11.34), для этих сил будем иметь выражения:

Здесь Xi] и Х [(х) легко вычисляют по формуле (VII.46). Наибольшие сейсмические усилия развиваются в опорах и про­

летных строениях, расположенных в средней части (у оси симмет­ рии) моста. Схемы этой части моста и соответствующие эпюры сейсмических сил при четном и нечетном числе пролетов приведены на рис. VII.29. Для расчетов представляют интерес наибольший момент и поперечная сила в среднем пролетном строении max М;, max Qi, а также максимальная сейсмическая сила, действующая на верх средней опоры S t°, которая состоит из сейсмической силы от сосредоточенного груза опоры (формула VII.56) и суммы сейс­ мических реакций двух опирающихся на нее пролетных строений. По аналогии с формулами § VI 1.4 эти усилия запишем так:

При нечетном числе пролетов эпюра сейсмических сил в преде­ лах среднего (наиболее нагруженного) пролетного строения имеет форму прямоугольника. Максимальный изгибающий момент возни­ кает в середине пролета. Нетрудно видеть, что безразмерные мно­ жители формул (VI 1.58) в этом случае имеют вид:

Mi = 0,\25ХiDp Qi = 0,5XiDi;

где X t, X i— отклонения средней и соседней с ней опор в t-й соб­ ственной форме (рис. VI 1.29, а).

При четном числе пролетов эпюра сейсмических сил наиболее нагруженного среднего пролетного строения трапецеидальна. Сече­ ние с максимальным моментом сдвинуто от середины пролета в сто­ рону максимальной ординаты эпюры. В этом случае безразмерные множители усилий определяются формулами:

Mi = kXiDt; Qi = ± ( 2 X i + X',)Di-,

О

204

Графики безразмерных множителей приведены в приложении II. Приведенные формулы позволяют вычислить максимальные усилия по отдельным формам. Расчетные усилия определяют обыч­

ным путем по формуле (VI.2).

§ VII.6. РАСЧЕТЫ БАЛОЧНЫХ МОСТОВ НА ВЕРТИКАЛЬНЫЕ СЕЙСМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЙСМИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

На практике рассчитывать мосты на сейсмические нагрузки вер­ тикального направления приходится очень редко (ем. § VI.2). Такие расчеты могут потребоваться для отдельных пролетных стро­ ений при значительных пролетах или одностороннем загружении временной нагрузкой, когда возможно развитие сейсмических ко­ лебаний крутильного типа (двухпутные железнодорожные пролет­ ные строения).

Для балочных мостов фактор динамического взаимодействия пролетных строений и опор при вертикальных сейсмических коле­ баниях существенного значения не имеет. Опоры мостов обладают большой жесткостью в вертикальном направлении и их деформации в этом направлении пренебрежимо малы по сравнению с прогиба­ ми пролетных строений. Поэтому при вычислении вертикальных сейсмических сил в балочных мостах опорные точки пролетных строений в динамической расчетной схеме принимают жесткими (несмещающимися) в вертикальном направлении [86]. Это приводит к расчетным схемам обычного типа, принятым в расчетах пролет­ ных строений на вертикальные нагрузки.

Для определения вертикальных сейсмических сил можно при­ нять расчетные схемы как дискретного типа, так и с распределен­ ными параметрами. При этом полностью остается в силе расчетная методика, изложенная в предыдущих параграфах'. При расчете по схеме с распределенными параметрами собственные периоды ■и формы плоских колебаний балочных систем можно принимать по справочникам [4, 32]. В расчетах на одностороннее загружение вре­ менной нагрузкой должны быть учтены пространственные колеба­ ния пролетных строений [15].

Для назначения зазоров между торцами пролетных строений необходимо определить сейсмические смещения соответствующих точек моста. В ряде других случаев также может потребоваться оценка сейсмических деформаций. Эта задача решается с помощью спектральной кривой. Известно, что максимальное смещение произ­ вольной точки дискретной системы при сейсмических колебаниях определяется выражением [46]

Уиг= max, |ylk {t) |= DtX lkCy (T,).

1 В общем случае спектральная кривая коэффициента динамичности для вер­ тикальных колебаний должна отличаться от нормированной. В гл. I было отмече­ но, что ускорения вертикальных колебаний грунта по акселерограммам, как пра­ вило, меньше, чем горизонтальных. Для осторожности пока что нормы этого не учитывают и при определении вертикальных сейсмических нагрузок рекомендуется та же спектральная кривая, что и для горизонтальных сил.

2 0 5

Здесь Су(Т{)— спектр смещений, связанный со спектром уско­ рений соотношением

C A r,)= (itJ С*(Т,1

Учитывая это соотношение и принятое в наших нормах предста­ вление спектра ускорений по формуле (11.30), получим

y ik= K Q 4я2

Смещения по высшим формам всегда намного меньше, чем по первой (основной) форме. Поэтому достаточно учесть только сме­ щение по .первой форме.

Для расчета с определенным запасом в предыдущую формулу вводят множитель, равный двум [86]. Таким образом, максимальное сейсмическое смещение /г-н точки дискретной системы следует опре­ делять по формуле

Для точек системы с распределенными параметрами аналогич­

Все входящие в эти формулы величины определены в процессе вычисления сейсмических сил.

§ V II.7. РАСЧЕТЫ РАМНЫХ, АРОЧНЫХ И ВИСЯЧИХ МОСТОВ

В расчетном отношении рамные мосты мало отличаются от ба­ лочных. При поперечном сейсмическом воздействии динамические расчетные схемы рамных мостов аналогичны схемам балочных. При определении единичных перемещений крутильными деформациями опорных стоек можно пренебречь, так что полностью сохраняет си­ лу методика расчета, изложенная в § VII.3. Дополнительные упро­ щения возможны за счет симметрии, обычно характерной для схем рамных мостов.

Расчетная схема рамных мостов при расчете на продольные сей­ смические воздействия представляет собой одноярусную раму, чис­ ло пролетов которой обычно не превышает четырех-пяти. Как пра­ вило, масса пролетного строения рамного моста намного больше массы опор (стоек).

Поэтому с достаточной точностью можно сосредоточить массу сооружения в уровне ригеля рамы, т. е. рассматривать динамиче­ скую расчетную схему в виде системы с одной степенью свободы. Такое предположение значительно упрощает расчет.

206

Полученные значения периодов собственных колебаний можно контролировать по данным натурных испытаний аналогичных со­ оружений, приведенным в § 111.2. В направлении вдоль моста пе­ риоды собственных колебаний (основного тона) арочных мостов, как правило, всегда меньше 0,В—0,4 сек. Поэтому не обязательно делать точный динамический расчет. В соответствии с рекоменда­ циями § VII.I для динамического коэффициента можно принять наибольшее значение Pi = 3 и определять коэффициент формы по приближенной формуле (VII.10).

Расчет висячих мостов на сейсмические воздействия представля­ ет сложную специальную проблему, которую мы не можем здесь детально рассмотреть. Отметим только, что в зарубежной практике висячие мосты больших пролетов рассчитывают по фактическим акселерограммам или иным данным, характеризующим сейсмиче­ ское воздействие. Так, например, висячий мост через р. Тахо в Пор­ тугалии пролетом 1012 м [204] был рассчитан по акселерограммам калифорнийских замлетрясений [130]. При проектировании висяче­ го моста Хонсю-Сикоку со средним пролетом 1500 м в Японии, по инструментальным данным были построены спектры ускорений для района строительства [196, доклад Курибаяши]. Расчеты обычно ведутся по дискретным расчетным схемам с большим числом степе­ ней свободы. При малых пролетах можно использовать обычную методику расчета по спектральным кривым.

207