Файл: Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач-1.pdf

лы по сравнению со смещениями другой, эпюра сил инерции имеет вид треугольника; на опоры воздействуют силы инерции от '/б и !/3 веса пролетного строения. На основе этого расчетную схему моста с жесткими пролетными строениями можно приближенно расчле­ нить на схемы отдельных опор, рассматриваемые независимо [86]. В верхнем сечении каждой опоры закрепляют дополнительный со­ средоточенный груз, равный от 0,5 до 0,2 веса опирающихся на нее пролетных строений. Первая цифра соответствует случаю пример­ но одинаковых опор, вторая — случаю, когда рассматриваемая опо­ ра немного жестче соседних.

§VI 1.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЙСМИЧЕСКИХ СИЛ В МОСТАХ СИММЕТРИЧНЫХ И РЕГУЛЯРНЫХ ТИПОВ ПО РАСЧЕТНЫМ СХЕМАМ

СРАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Методика определения сейсмических сил по дискретным расчет­ ным схемам, изложенная в предыдущих параграфах, носит универ­

трудоемкость вычислений. Сфера применимости расчета по схемам с распределенными параметрами, ограничена сооружениями простой структуры. Однако в ряде случаев этот метод приводит к компакт­ ным расчетным формулам. Табулирование вспомогательных коэф­ фициентов и построение расчетных графиков значительно снижают трудоемкость практических расчетов. Общий порядок исследования поперечных колебаний балочного моста, представленного в виде схемы с распределенными параметрами, был изложен в § П.З. Здесь мы рассмотрим некоторые частные задачи, представляющие практический интерес.

Так же, как и при расчетах по дискретным схемам, основным ■вопросом является определение периодов и форм собственных ко­ лебаний. По известным их значениям непосредственно вычисляют интенсивность распределенных сейсмических сил (см. формулы 11.33, 11.34). Ниже мы убедимся, что простыми формулами можно выразить и сейсмические усилия в элементах сооружения.

Задача определения периодов и форм собственных поперечных колебаний при схемах с распределенными параметрами достаточ­ но просто решается в замкнутом виде для мостов симметричного или регулярного типа, имеющих опоры и пролетные строения приз­ матической формы. Для иллюстрации общего хода решения рас­ смотрим схему двухпролетного неразрезного моста (рис. VII.20). Считаем, что устои малой высоты являются абсолютно жесткими. Поперечные деформации пролетных строений и промежуточной опо­ ры носят изгибной характер. Интенсивность масс т, ni\ и изгибные жесткости Ж, Ж 1 этих элементов постоянны по длине. Промежуточ­ ная опора жестко заделана в недеформируемом основании.

Для решения задачи используем методику, приведенную в § П.З. Собственные функции, определяющие формы колебаний соответственно пролетного строения и опоры, обозначим через

191

Х(х) и * ,( * ,) *. При изгиб'ных деформациях стержня постоянного сечения оператор L, определяющий зависимость между упругой ли­ нией и соответствующей нагрузкой, имеет вид L — Ж ^/йх 4. Сообраз­ но с этим дифференциальные уравнения (11.43), определяющие собственные функции, примут вид:

Ж Х "" (х)-<?ЪпХ {х) = 0;

Штрихами здесь и в дальнейшем обозначено дифференцирова­ ние по аргументу х или Х\.

ср — общая круговая частота собственных колебаний системы. Сформулируем граничные условия. В любой момент времени смещения и моменты в крайних точках пролетных строений равна нулю, а касательные к их упругой линии над промежуточной опо­ рой параллельны оси моста. В нижней точке опоры равны нулю смещение и угол наклона касательной к ее оси, а в верхней точке — изгибающий момент (влиянием дополнительного момента от несов­ падения уровней центра шарнира опорной части п центра масс пролетного строения пренебрегаем). Сообразно с этим граничные

условия запишутся в виде:

Решения дифференциальных уравнений (VI 1.20) представлены, как известно, комбинациями «балочных» функций. Нетрудно ви­ деть, что при граничных условиях (VII.21) эти решения будут иметь вид:

Для определения постоянных интегрирования С, Сi используем условия совместности деформаций и динамического взаимодействия пролетных строений и опоры. Из (11.37) и (11.38) получим

АТ (/)= АГ1 (Л); 2ЖАТ'" (/)= - Ж ^ Г (Л).

* Обозначения размеров расчетной схемы даны на рис. VI 1.20.

192

Первое из этих условий выражает равенство смещений опоры и пролетных строений в точке опирания последних. Второе есть ус­ ловие равенства поперечной силы в верхней точке опоры и реакций пролетных строений. Подставим в эти условия значения собствен­ ных функций по формулам (VI 1.22), (VII.23). После некоторых преобразований получим следующую систему линейных уравнений для определения постоянных интегрирования:

где В, Е — табулированные функции [32]:

В (X)= sin X ch X — cos X sh X;

E (X)= 1 -|-cos X ch X.

Для получения ненулевых значений С, Сi приравняем нулю де­ терминант системы (VII.25). Получим

Преобразуем это уравнение. Будем характеризовать деформативность пролетного строения и опоры их податливостями:

Очевидно, что б — поперечное смещение середины пролетного строения (рассматриваемого как разрезная однопролетная балка) от единичной силы в том же сечении; 6i — поперечное смещение верхней точки опоры от единичной силы в той же точке. Введем следующие безразмерные параметры, характеризующие относи­ тельные инерционные и деформационные свойства опоры и пролет­ ного строения:

где q, q\ — интенсивность вертикальной нагрузки пролетного стро­ ения и опоры. Кроме этого, с помощью соотношений (VII.24) выразим Xi через X:

С учетом этого из уравнения (VII.26) после преобразований по­ лучим следующее характеристическое уравнение для определения X:

193

Рис. V1I.21. Схема /г-пролетмого моста ре- Собственные функции Xi(x),

гулярного типа А^Длч), определяющие фор­

му г'-го собственного коле­ бания системы, получим по формулам (VII.22), (VII.23) при под­ становке %= Постоянные интегрирования С, Сь согласно уравне­ ниям (VII.25), могут быть представлены в виде:

равнопролетных балочных мостов [60]. При исследовании схем с неравными пролетами существенное упрощение дает использование метода начальных параметров [69]. Таким путем получено харак­ теристическое уравнение поперечных колебаний трехпролетного симметричного неразрезного моста, приведенное в приложении II.

Расчетные схемы балочных разрезных мостов с унифицирован­ ными пролетами и элементами стандартной конструкции в ряде слу­ чаев с достаточной степенью точности молено представить в виде колебательных систем регулярного типа, имеющих повторяющиеся структурные ячейки. Общее решение задачи поперечных колебаний таких систем удобнее всего получить методом деформаций с исполь­ зованием бесконечной основной системы и аппарата конечных раз­ ностей [31, 58]. Рассмотрим общую схему балочного разрезного моста регулярного типа (рис. VI 1.21). Все пролетные строения и все промежуточные опоры предполагаем одинаковыми. Крайние опоры абсолютно жесткие. Дополнительные моменты, передавае­ мые от пролетных строений на верхние сечения опор, не учитыва­ ются.

Для получения бесконечной основной системы метода деформа­ ций неограниченно увеличиваем число пролетов расчетной схемы в обе стороны и закрепляем верхние точки всех опор жесткими по­ перечными связями (рис. VII.22, а). Введем обозначения:

Xh° — поперечное «вибрирующее» смещение верхней точки k-h опоры; rjh — «вибрирующая» реакция /-й связи, вызванная единич­ ным вибрирующим смещением k -й опоры (при отсутствии смещения остальных).

С учетом этих обозначений канонические уравнения для опре­ деления лишних неизвестных (смещений X/t°) запишутся как усло­

194

Рис. VII.22. Бесконечная основная система

вия равенства нулю динамических усилий во всех добавочных связях:

ft J

Вследствие разрезности пролетных строений смещение верха какой-либо опоры вызывает реакции только в связях данной и со­ седних с ней опор. Отсюда следует, что /> = 0 при |i—&|>1. Учи­ тывая симметрию и идентичность всех ячеек схемы, можно ввести обозначения:

г п = г Р n .)+ i = r ) j - i = r, - ^ - = 2ф.

Тогда уравнения (VII.33) перепишутся в таком виде:

Эти выражения можно трактовать как симметричное уравнение в конечных разностях. Его решение имеет вид [12]:

Х] — Сг cos vу -[-С2 sin vy,

Постоянные Сь С2 определяются из граничных условий. Для

исходной схемы n-пролетното моста будем иметь -^о— Х°п = 0. Подставляя сюда выражения смещений, полученные выше, будем

195

где гпр, /'пр' — вибрирующие реакции смещенного и неподвижного концов пролетного строения; гоп — реакция верхней точки опо­ ры при единичном вибрирующем смещении точки /. Подставляя эти значения в полученное выше решение, для смещений верх­ них концов промежуточных опор получим выражения:

справедливы при произвольной форме пролетных строений и опор моста и любом виде их деформаций. Формула (VII.35) определяет смещения верхних точек опор моста при нормальных (собственных) колебаниях. Коэффициент к в этой формуле может принимать зна­ чения от 1 до п— 1. Четные значения /е соответствуют собственным формам с кососимметричным распределением отклонений опор, не­ четные— симметричным отклонениям. При k=\ верхние точки всех опор отклоняются в одну и ту же сторону. Собственные фор­ мы этого типа для мостов с различным числом пролетов показаны на рис. VI 1.23. Им соответствуют наибольшие сейсмические усилия в опорах и пролетных строениях.

Для получения характеристических уравнений конкретных задач

учетом конструкции элементов моста и характера их деформаций. Рассмотрим приведенную выше схему n-пролетного моста в предпо­ ложении, что его опоры и пролетные строения имеют призматиче­ скую форму (постоянное сечение) и испытывают изгибные дефор­ мации; основание опор допускает упругий поворот фундамента. Схемы деформации пролетного строения и опоры для определения вибрирующих реакций приведены на рис. VI 1.24. Формулы для вибрирующих реакций можно получить обычным путем [69]. Приво­ дим без вывода окончательные выражения:

где Si(X,), V(X,) — табулированные функции [32]:

5 1(X)=2sin XshX;

V (Х)= -^- (sh X— sin X),

196