ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 1
В начальный момент времени жидкость покоится и и , = 0. Распределение температуры при Ä,=const линейно:
Допустим, что первоначальное состояние нарушено малым температурным возмущением Т'<^Т, вызвавшим потерю устойчивости распределения плотности среды. Уравнение воз никающего движения после отбрасывания квадратичных чле нов относительно возмущений и их производных имеет вид
|
|
|
= |
g# ( Т - |
Т 0 ) |
- ± д £ + ѵѵЧ-, |
(9.1.3) |
|
v |
|
з |
|
|
|
|
г д е |
2 |
= 2 ^ - ' |
|
|
|
||
|
1 |
ÖX7 |
|
|
|
||
|
|
|
' |
|
|
|
|
уравнение неразрывности — |
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
du, |
|
|
|
|
|
|
2 І Й Г = 0 ; |
{ 9 Л - 4 ) |
||
уравнение распределения тепла — |
|
||||||
|
|
|
|
w + v |
w = |
а у 2 Г - |
( 9 Л 5 ) |
Исключив из этих уравнений компоненты скорости возму щенного движения и, w и пульсацию давления р \ получим
-St Ѵ2ѵ = (^Г + ôi^J + VѴ4ѵ. |
(9.1.6) |
Естественно рассмотреть возмущения вида двумерной пе риодической волны, распространяющейся в плоскости (х, г) так, что
|
v=v(y) |
exp [і (kxx-\-kzz) |
+ot] |
; |
|
(9.1.7) |
||
|
Т'= Ѳ (у) exp [i (kjc+kzz) |
+at]. |
|
|||||
|
|
|
||||||
В этом случае уравнения возмущенного |
состояния |
(9.1.5) |
||||||
и (9.1.6) могут быть записаны |
в |
виде |
|
|
|
|
||
|
(D2—a2) |
(Ö2 —a2 —C)t) = |
Gra2 0; |
|
(9.1.8) |
|||
где |
(D2—а2—Рг |
С)Ѳ = — f Рг, |
|
(9.1.9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = |
jjj-; k=]/k2x |
+ kl; |
a = ki, |
С = |
о-^; |
|
||
Gr = —l |
число Грасгофа. В уравнениях |
(9.1.8), |
(9.1.9) |
|||||
136
в качестве масштабов длины, времени, температуры приняты соответственно величины: /, — , Д7\
Порог неустойчивости характеризуется условием Сг —0; С(=0 [329]. Исключая из (9.1.8), (9.1.9) Ѳ, получим следую щее уравнение для возмущенного состояния:
(О 2 — а 2 ) 3 о =—Ra va2, |
(9.1.10) |
где Ra = GrPr — число Релея. |
|
Задача состоит в нахождении решения уравнения |
(9.1.10), |
удовлетворяющего следующим граничным условиям: на жид ких поверхностях скорости равны нулю, на свободных поверх ностях нет касательных напряжений. При отсутствии гравита ционных волн на свободной поверхности
|
|
|
? = ° - |
|
|
|
<*•••»> |
Таким образом, существуют три типа граничных условий |
|||||||
для уравнения возмущенного состояния (9.1.10): |
|
|
|||||
а) обе граничные поверхности свободные: |
|
|
|
||||
Ѳ = 0, |
v={D2—а2)ѵ |
= 0, D2 y = 0 для у=0 |
и |
1; |
(9.1.12) |
||
б) обе граничные поверхности жесткие: |
|
|
|
||||
Ѳ = 0 , |
v=(D2-a2)2v=0 |
|
и Dv = 0 для у=0 |
и |
1; |
(9.1.13) |
|
в) одна граничная |
поверхность |
(у=0) жесткая, |
а дру |
||||
гая (у=1) |
свободная: |
|
|
|
|
|
|
|
6 = 0, v=(D2-a2)2v |
= Q для у = 0 |
и |
1; |
|
||
|
Dv = 0 для у=0; |
D2 u = |
0 для у=\. |
|
(9.1.14) |
||
Задача состоит в отыскании зависимости между пара метрами Ra и а. С физической точки зрения, достаточно знать то значение а, при котором Ramm, т. е. найти тот наименьший температурный градиент, при котором возника ют конвективные токи.
Наибольший интерес, с точки зрения экспериментальных исследований, представляет случай с двумя жесткими гра ницами (9.1.13). Граничные условия для двух свободных по верхностей (9.1.12) могут быть приближенно выполнены на границах слоя жидкости, плавающего па более тяжелой жидкости. Последний случай интересен тем, что позволяет получить точное решение [334]. Выполняя граничные усло
вия |
(9.1.12), |
имеем |
v = D2v — D4v = 0 |
для у = 0 |
и |
у—1. |
Из |
уравнения |
(9.1.10) |
следует, что Dev = 0 для у=0 |
и У = \. |
||
Продифференцировав |
уравнение (9.1.10) |
дважды |
по |
у, по- |
||
137
лучим, что и |
|
( D 8 |
y ) J , = 0 ; |
1 = |
0 и т. д. Таким |
образом, |
(D2I "Ü)=0 |
|||||||||||||||
при |
г/=0 |
и у=1, |
|
л г = 1 , 2, |
3 . . . Отсюда |
следует, |
что |
реше |
||||||||||||||
ние имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ѵ—A |
sin ппу, |
|
|
|
|
|
|
|
(9.1.15) |
|
|||||
где |
А — постоянная |
величина, |
а |
я — целое |
число. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда из уравнения (9.1.10) получим следующее харак |
||||||||||||||||||||||
теристическое уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
R a = ( n V - f a 2 ) 7 c 6 2 . . . . |
|
|
|
|
|
|
(9.1.16) |
|
|||||||||
Для |
|
фиксированного |
значения |
а |
наименьшее |
значение |
чис |
|||||||||||||||
ла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ra |
( л |
2 + а = ) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
(9.1.17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Критическое число Ra найдем, приравнивая |
производную |
|||||||||||||||||||||
нулю |
'дЯа |
- о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
la (а2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 ( я 2 |
+ а 2 ) 2 |
|
( я 2 |
+ а 2 ) 3 |
|
|
|
|
|
|
(9.1.18) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а, |
- 0 , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда а 2 |
= я 2 / 2 |
и Rai : p =657,5. |
|
|
|
|
жестких |
границ |
||||||||||||||
Строгое решение задачи для двух |
||||||||||||||||||||||
(9.1.13) |
было выполнено |
Пэлыо |
и |
Саусвеллом |
[329]. |
Как |
||||||||||||||||
видно из |
графика |
(рис. 9.1), |
критическое |
число |
Релея, |
по |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лученное |
из |
нечетного |
решения, |
|||||||||
Ra |
|
|
\ |
\ |
|
1 |
і |
|
соответствует |
|
значению |
а„р |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
J |
|
-=3,117 и Ra 1 ! p = |
1707,762. |
|
|
в |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
Условие |
|
равенства |
с = 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точке |
потери |
устойчивости |
озна |
||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
чает |
возникновение |
стационарно |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го |
течения |
|
жидкости, |
характе |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ризующегося |
определенным |
вол |
|||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
новым числом а„р (рис. 9.2). По |
|||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
|
\ |
|
|
|
|
/ А |
|
скольку |
волновой |
вектор |
может |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
быть |
разложен |
на |
компоненты |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
множеством |
способов, |
|
структура |
||||||||||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
ячеек |
неизвестна. |
Линейная |
тео |
||||||||||
1708 |
| \ . |
|
|
|
|
|
рия |
устойчивости |
не |
|
позволяет |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
установить |
ни форму |
|
возникаю |
||||||||||||
|
|
|
|
|
\з,із |
|
|
|
|
|
||||||||||||
!0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
щих течений, ни амплитуду воз |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мущений. |
|
Можно |
только |
пред |
||||||||
Рис. |
9.1. |
Нейтральные |
кривые |
положить, что весь слой при |
||||||||||||||||||
устойчивости |
для |
горизонталь |
критических |
условиях |
|
разделен |
||||||||||||||||
|
|
ного |
слоя |
[329]: |
|
|
на валики или правильные |
много |
||||||||||||||
/ — нечетное решение; |
/ / — четное |
гранники: |
равносторонние |
|
тре- |
|||||||||||||||||
|
|
|
решение. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
'138
Учитывая влияние конечной амплитуды на осредненный
поток через напряжения рщщ и принимая, что распреде ление скорости в ячейке подобно моменту возникновения те
чения, |
был вычислен |
[274, |
318] |
коэффициент пропорцио |
||
нальности для |
зависимости |
|
|
|
||
|
|
N u = l + * ( l - ^ f ) . |
(9.1.19) |
|||
Расчетное |
значение |
коэффициента |
k= 1,4392 соответству |
|||
ет результатам экспериментальных |
исследований вблизи |
|||||
точки |
потери |
устойчивости |
[274]. |
Согласно экспериментам |
||
[348], Ä=1,43±0,16. |
|
|
|
|
||
9.2.Устойчивость течения жидкости
ввертикальном слое
ина отдельной пластине при свободной конвекции
Рассмотрим течение жидкости в замкнутом по торцам плоском слое толщиною /, много меньшей Я, L . Ограничи вающие плоские изотермические поверхности имеют различ ную температуру (7"і>7/2). В вертикальном слое жидкости имеет место течение, подъемное у горячей и опускное у хо лодной поверхностей. При малых значениях числа Ra переда ча тепла происходит только путем теплопроводности [42, 44]. Конвективный перенос наблюдается вблизи торцов слоя,
тз |
|
/ |
. |
дТ |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае и=и(х), |
|
= |
0 и стационарное |
течение |
удов |
||||||||
летворяет уравнениям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ß | - = |
R a r c o s T |
+ P r . / 2 g ; |
5 ^ |
= |
- R a f |
sin Y ; |
g |
= |
0; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.2.1) |
|
В качестве единицы длины, температуры, давления, ско |
|||||||||||||
рости приняты следующие величины: |
|
|
|
|
|
(9.2.2) |
|||||||
|
/; |
AT; |
polg; |
- ^ |
; |
|
|
|
|
|
|||
•у — угол |
наклона |
относительно вертикали; |
когда |
нагрев |
про |
||||||||
исходит сверху, ч>0. |
|
|
и(0\ |
|
|
_ |
|
|
|
_ |
|
||
При |
граничных |
условиях |
1)=0, |
Г(0) |
= |
1; 7(1) |
=0 |
||||||
решение |
(9.2.1) имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и=Л^2-у(1-у)(1-2у); |
|
|
|
Т = \ - у . |
|
|
(9.2.3) |
||||||
Существует и другой режим ламинарного течения с гра |
|||||||||||||
диентом |
температуры |
по высоте слоя |
[ — ) |
Л |
с г ^ О |
[263]. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
\ дх/ |
|
у—и,о£ |
|
|
||
140