Файл: Кутателадзе, С. С. Пристенная турбулентность.pdf

Из условий

симметрии

в

сечении

х = — скорость

ѵ = 0

и

система уравнений

(9.1.1) — (9.1.3)

в

приближениях

Бус-

сенеска

имеет вид:

cos V Ra f

=

В дР_ _ р , 2 дЧі.

)

дх

к г

ду*'

1

В д

£ =

— R a r

sin

у;

„

, ,

ôf

d"-f

(9.2.4)

— = О-

01/

'

Из

уравнений (9.2.4.)

следует,

п

ОТ

= const и

что ß

Ra cos у

•[^cos /ш/sh mi/

4 P r 1 2 / n 2

(/,

1)

+

/ 2 exp (ту) sin mi/ -h exp (— my) (sin mi/)];

cosüLshiü

2

2

(9.2.5)

/л \

m

m m

e x P

I — ~2jSin -2"Cos m sli /71 — exp (— m) sin in cos-^-sn-5-

/2 =

exp (m) sin m cos -g- sh -^- — exp| -g- j sin

~TJ- cos m sh ,

1

T

= Г А . = 0 , 5 — 2 ( / o _

^

[/1

sin

my

ch my —

— /2 exp (mi/) cos my -'- exp (— my) cos mi/],

где

/"Ra

ß cos у

m =

y

Задача

состоит в исследовании устойчивости решений

(9.2.3)

и (9.2.5).

течение

теряет устойчивость

в гидродинамическом смысле;

течение

переходит в режим

(ß = const) пограничного слоя.

Экспериментальные ис­

следования

градиента

температуры

ß„=o,5/

П Р И

различных

h = J L и

Рг

представлены

на

рис.

9.3,

откуда

следует,

что

ре­

жим

теплопроводности

имеет

место

при

Ran<

<(1,5н-І,9)-104 ; граница

перехода

не

зависит

от

ѵгла

наклона

при

ч > 0 и

Р г < 1 4 .

тонкого

слоя при различных числах

Исследование

гидроди­

намической

устойчивости

Прандтля и углах наклона:

/ — по

[263], ѵ=0;

P r = I 0 3 ; эксперименты

ламинарного течения жид­

H . В. Мухиной,

А.

Г. Кнрдяшкниа: Р г = 1 4 ;

кости

в

режиме

погра­

2 — 7=30°,

1=5,87

мм,

/1=37,5; 3 — 7 = 5 0 ° ,

I —

= S,25

мм,

й = 19,4;

4—7 — ѵ=70°,

/=4,31;

8,24;

ничного

слоя

(9.2.5)

13,94; lß,5

мм, /1=3-1,1;

26,7; 20,8;

9,7;

S, 9 — у=

представляет

собой более

=0,

/=4;

6 мм, /1=55;

36,7.

общий

случай,

чем

ис­

(9.2.3),

так

как при т - » - 0

профили

(9.2.5)

переходят

в

(9.2.3). Найдем условия

(m,

Ра, Рг),

при

которых

стацио­

нарные течения

(9.2.5) теряют свою устойчивость.

и',

ѵ',

Наложим

на

основное

течение малые

возмущения

Р',

Г.

Введем функцию токами' =

— ^

; ѵ' =

j и

будем

рас­

сматривать периодические по х возмущения:

Ф=Ф(У)

exp

[i(ax+at)]\

T' =

Q(y)

exp

[i{ax+oi)].

(9.2.6)

Рг ср"" — (іо + lau -і- 2а2 Рг' 2 ) ср" + <р (tau" - f

ia2a

- f іа3й

-1- а 4 Рг 1 2 ) — Ra cos уѲ' — Ra sin уіаѲ =

0;

(9.2.7)

_

Ѳ"/Рг'-* + Ѳ (іо -Ь гаи

+

- ^ ) - ср' g *

+

-!- і а Ф ^ =

0

(9.2.8)

с граничными условиями

ср(0)=ф(1)=ср / (0)=ср'(1)= - 0;

Ѳ ( 0 ) = Ѳ ( 1 ) = 0 .

(9.2.9)

Ф =

йі (1—cos 2пу) + Q o ( l — c o s Any) ;

0 = ôisinjiy+ô2 sin2K«/.

(9.2.10)

На рис.

9.4

представлена граница возникновения

неус­

тойчивости

вида

вторичных вихревых течений при у =

0.

Экс­

сти с числами

Рг =

14; 100; 150 с целью

определения

границы

возникновения

вторичных вихревых те­

чений, показали также, что существует

предельная высота слоя /гь

завися­

щая от числа Рг. При высоте слоя,

большей hi, возникают течения вида

бегущей волны. Картина течения жид­

кости в момент потери устойчивости і

(для

визуализации

течения

в

слой

:

помещались

алюминиевые

частицы

5—15 мк) представлена

фотографиями

ю -

(рис.

9.5).

При

/г>/г1

( Р г = 1 4 )

возникнове­

нию

ячеистых

течений

предшествова­

ли течения вида бегущей волны (см.

рис. 9.6), ячеистые же течения

возни­

б s ю*

кали с наложенными

на них волнами.

При

Р г = 1 0 2

и h>hx—

30

волновые

течения

настолько

велики,

ЧТО

В Т О - Рис. 9.4. Возникновение

ричные течения полностью размывают-

неустойчивости

вида яче-

ся.

Неустойчивость

вида

вторичных

истых течений

[77] :

/ — Рг—14; 2 — Рг=200;

3 —

течений

воз*можна

и

в

режиме

тепло­

Рг=136; 4 — Рг=100

(экспе­

проводности при

Gr > 8800 [44]. Учи­

риментальные

значения) .

тывая,

что

решение

(9.2.3)

справедливо при Ra<l,7-104 ,

«стоячие»

возмущения

опасны

в режиме

теплопроводности

для жидкостей с Р г < 1 , 9 .

Как и при исследовании устойчивости ламинарного по­

граничного слоя считаем, что вблизи

вертикальной

пластины

при

естественной

конвекции

и=и(у).

Наложим на

основное

течение

возмущения

и',

Р',

ѵ', Т,

введем

функцию

тока

0\\)

ду

— - ^ - и

оудем

рассматривать

возмущения

вида

гр =

ср (у) exp [ta (x — at)];

V

= Ѳ (у) exp [ta (x — at).

(9.2.11)

(F' -

С) (Ф" - а"Ф)

_

F'"Q> = -

( ф І

Ѵ — 2а2 Ф" +

a4cp + 0'),

(9.2.12)

(F'

— С) 0 — Н'Ф

=

-

(Ѳ" -

crO)

(9.2.13)

с граничными условиями

ф ( 0 ) = Ф ' ( 0 ) = 0 ( 0 ) = 0 ;

Ф, Ф ' , 0 - > 0

при ті

со.

(9.2.14)

Уравнения, записанные в указанных переменных, явля­

ются

уравнениями

возмущенного

движения

на

вертикаль­

ной пластине при постоянном тепловом потоке.

Уравнения возмущенного движения для случая теплооб­

мена

с постоянной

температурой

стенки имеют тот же са­

мый вид, что и (9.2.12), (9.2.13) при переменных:

G = 2У2

(Gr)"''; F'

=[ux/2vGr1'2,

H = T

~ Т°>:.

Ф = щ/2ѵ8

Gr1 /2 ;

AT

м

Ѳ = Ѳ/Д7;

С = öx/2v

Gr1

2 ;

а = а б ;

п =

у/8;

Gr =

gßATV/v2 ;

нахождением

собственных

значений уравнения Орра — Зом­

мерфельда.

Особенностью

рассматриваемой задачи

являет­

ся наличие двух критических точек: во внутренней

области,

10 З а к а з № 42к

145

ce

Теория

малых

возму­

0,8-

щений

позволяет

опреде­

лить

лишь

точку

потери

устойчивости.

Практиче­

O.ff-i

ски

же

наибольший

ин­

терес

.представляет

точка

0,4-

перехода

к

развитому

ту р буле-нтно му

течен и ю.

Критическое

значение

числа

Ra,

соответствую­

0,2-

щее

точке

перехода

к

развитому

турбулентному

течению,

значительно

WO

140

ISO

Gr*

больше

значения

числа

Ra для точки потеря ус­

Рис. 9.6. Кривые нейтральной устойчиво­

тойчивости. Согласно

экс­

сти пограничного слоя вблизи вертикаль­

периментальным

'исследо­

ной пластины

Рг=0,72:

/ — с

учетом

температурных

возмущений

ваниям

Чнзрайта

[251],

(9.2.15)

при постоянном тепловом потоке

(287].;

точка

перехода,

опреде­

/1-го

ж е . при постоянной температуре

стен­

ки [317];

III — б е з учета

температурных

воз­

ленная

по

закону

изме­

мущении

при

постоянной

температуре стенки

нения

теплообмена

на

1317];

IV — то

же , при постоянном* тепловом

вертикальной

пластине,

потоке

[330]. Экспериментальные

точки по [330).

соответствует значению

Ra=(4-"-5) • ІО9

при Рг =

0,72.

9.3. Турбулентная

свободная

конвекция

на вертикальной и горизонтальной

поверхностях

В настоящее время теории тепломассоперепоса

в усло­

виях

турбулентной

естественной

конвекции

основываются

ко уже при общем рассмотрении условий течения

жидкости

вблизи поверхности

теплообмена обнаруживается

нарушение

указанной

аналогии.

Для оценки характера изменения скорости вблизи вер­

тикальной

поверхности теплообмена

рассмотрим

осреднен-

ное течение в поле

силы тяжести,

параллельное стенке.

имеет вид

% + -17-і£г = - № Т .

(9.3.1)

(•' оу