Файл: Болотин, Б. И. Инженерные методы расчетов устойчивости судовых автоматизированных электростанций.pdf

Устойчивость замкнутого электромеханического контура может быть определена, на основании критерия Гурвида.

Для характеристического уравнения четвертого порядка переда­ точной функции W3Ml (р) условие Гурвица может быть записано в сле­ дующем виде:

(21э1Т оТэ2 1 + 210Т\хТ й) {Т\ + Тэ2! + 4 Ш Т 0Т э1) -

- Т1П, ( 2 | 0То + 2 | э1Гэ1 + ^ - W

•'Wso

обеспечения устойчивости замкнутого электромеханического контура в зависимости от соотношения декрементов затухания и частот собст­ венных колебаний внутренних контуров (электромагнитного и нере­ гулируемого электромеханического).

Решая неравенство (III.65) относительно k0 и отбрасывая его от­ рицательные значения, получим

к0< \ т 0( |э1 + Н0'Л) [l -)- А 2-)- 4 |0£э1Л -f-

+ 1 /(1 4 -Л 2 4-4^зхМ ) 2 - 4 Л 2 ] - 2 Т 0 (1о+ М ) ^ } ^ - (III.6 6 )

Данное неравенство определяет колебательную границу устойчи­ вости электромеханического контура в плоскости любых двух его па­ раметров, одним из которых является k 0.

Если задаться оптимальными декрементами затухания электро­ магнитного и нерегулируемого электромеханического контуров, т. е.

у 2

^ о = 1 э1 ==_^ _ > то выражение (III.6 6 ) примет следующий вид:

Как было найдено выше, (о0 = — лежит в диапазоне 0,67—2,5 Гц.

Т о

Для данного диапазона в случае равенства частот со0 = ©оп (т. е. при

105

Таким образом, при разнесении собственных частот внутренних контуров допустимое значение коэффициента k 0 (а следовательно, запас устойчивости) повышается в число раз, приблизительно равное отношению собственных частот нерегулируемого электромеханиче-

ского контура и электромагнитного контура, т. е. COq = л

Так как переходный процесс в замкнутом регулируемом электро­ механическом контуре всегда носит колебательный характер, то пред­ ставляет интерес определить частоту и декремент затухания собствен­ ных колебаний этого контура.

Предполагая, что демпферная обмотка генератора выбрана таким образом, что декремент затухания колебаний нерегулируемого элек-

Представим полином F {р) четвертого порядка в виде

Р (Р) = ТоА (р + АхР + А 2р2 + А Зр + А 4) ,

106

где

2 £ Э1 + V 2 A

ТпА

1 + Л 2 + 2 ]/г2 | 31Л _

Т2А2

Vr27’„ + 26sli47'0 + *o

ПА•]А2

1

Г^Л2

Рассмотрим характеристическое уравнение полинома F (р):

Левая часть этого уравнения может быть разложена на два сомножи­ теля, один из которых определяющий, т. е. имеет комплексные корни, вещественная часть которых мала, вследствие чего переходной про­ цесс определяется этими корнями:

piJr A ip3 + А 2р2 + А зР + А 4 = (к2+ Ci%+ С2) • (A,2 ~f-В хА, -)- В 2).

Коэффициенты Сх; С2; В х; Л 2 могут быть найдены на основании из­ вестных формул разложения:

A i = C1Jr Bi,

А 2 = С2 + В 2+ СХВХ;

Аз = CiB2+ BiC2;

А 4 = CZB2.

Однако определять эти коэффициенты в общем виде трудно. По­ этому выберем другой путь для нахождения основных показателей переходного процесса.

Используя выражение для предпоследнего определителя Гурвица Nn_ x, можно получить формулу для вещественной и мнимой частей

определяющего корня (т. е. для декремента затухания и частоты оп­ ределяющих колебаний) [36]:

Установим связь между данным декрементом затухания и декре­ ментом затухания колебательного звена при обычном способе норми­ рования, когда свободный член равен единице.

Зная корни A1 i2 = — | + /ю, можно написать

(Р + £ + /®) (Р + 1— /ю) = (Р + 1)2+ а>2 = р2 + 2£р + ( £ 2 + о>2) = 0.

107

Приведем полученное уравнение к виду, когда свободный член равен 1:

Сравнивая это уравнение с обычным видом нормированного квад­ ратного уравнения

Т У + 21Тр+1 = 0,

получим

Заметим, что со есть частота демпфированных колебаний, в то время как ]/"52 -! - со2 равняется частоте недемпфированных колебаний со0 =

т

Формулы (III.70) и (III.71), позволяя найти декремент затухания и частоту определяющих колебаний, не дают возможности найти параметры других быстрозатухающих колебаний.

При решении конкретных численных задач разложение уравнения четвертой степени на два квадратных уравнения в соответствии с при­ веденными выше формулами не представляет затруднения. В то же время, как уже указывалось, определить коэффициенты этих уравне­ ний в общем виде практически невозможно. Поэтому для оценки влия­ ния параметров системы на параметры (частоту и декремент затуха­ ния) определяющих и не определяющих колебаний применим прибли­ женный метод. Этот метод основывается на том, что при оценке высо­ ких частот можно пренебречь свободным членом выражения (III.6 8 ), а при оценке йизких частот можно пренебречь членом, содержащим производную четвертого порядка.

Произведем оценку высокочастотных колебаний. Характеристи­ ческое уравнение (III.69) при пренебрежении свободным членом при­ водится к виду р 3 + Л хр2 + А 2р + А 3 = 0.

Для этого уравнения декремент затухания Нв и частота собствен­ ных колебаний сов могут быть определены по следующим формулам

[361:

А^Ап— Ая

108

при Л = 1.

Для качественной приближенной оценки значения частоты ®в и декремента затухания Ев будем полагать в формуле (III.74) k0 —

=крит» т- е-> что система находится на границе устойчивости.

При А = 1 в соответствии с выражением (II 1.67) kOKpm = V 2 T 0{2 + V l 2 ) = 7,7T0.

Подставляя в (II 1.74) значение &0крит = 7,7Т 0 и задаваясь опта-

лГ2

мальным декрементом затухания электромагнитного контура Еэх——2—»

получаем

т. е. частота недемпфированных колебаний регулируемого электроме­ ханического контура приблизительно в два раза больше частоты не­

109