Файл: Болотин, Б. И. Инженерные методы расчетов устойчивости судовых автоматизированных электростанций.pdf

Причиной автоколебаний была неправильная настройка изодромной обратной связи PC [25]. Для сравнения на рис. 1.9 приведена осциллограмма автоколебаний турбогенератора ТД-1000 с сетью. Причина автоколебаний заключалась в близости частот собственных

к собственной частоте электромеханического контура. Действительно, параметры этого ТГ:

баний. Следовательно, электромеханический контур обладает ярко выраженными резонансными свойствами.

Так как в этом случае система удовлетворяет и условиям фильтра, и условиям авторезонанса, то применение метода гармонической ли­ неаризации для расчетов автоколебаний в электромеханическом кон­ туре должно приводить к наиболее точным результатам. С другой сто­ роны, как будет показано далее, знание приблизительной частоты ав­ токолебаний заранее существенно упрощает расчеты автоколебаний в системах с петлевыми неоднозначными нелинейностями.

Частота автоколебаний электромагнитных контуров судовых син­ хронных генераторов с самовозбуждением, как показывают расчеты и эксперименты, также близка к собственной частоте этих контуров и, следовательно, удовлетворяет условию фильтра.

Системы автоматизации САРЧ и САРАМ, являясь в большинстве случаев астатическими, содержат, как правило, в своей структуре двигатель-интегратор, т. е. звено, являющееся низкочастотным фильт­ ром. Применение метода гармонической линеаризации для подобных систем, как показано в работе [1 ], является обоснованным.

§ 29. Применение метода гармонической линеаризации при расчетах автоколебаний многоконтурных систем в САЭС

Как было показано в работах Н. М. Крылова и Н. И. Боголюбова, нелинейная функция, определяющая нелинейность системы (звена), может быть представлена в виде выражения, по форме записи похо­ жего на линейное. Эта операция была названа эквивалентной, или гармонической линеаризацией.

Пусть имеется нелинейная система автоматического регулирования, которая разбивается на линейную и нелинейную части. Уравнение линейной части в общем виде запишется как

245

Уравнение нелинейного звена имеет вид:

y = F (х), (VII.4)

где F (х) — заданная нелинейная функция; х — переменная на входе нелинейного звена.

Как отмечалось выше, автоколебания ищутся в виде синусоидаль­ ной функции (VII. 1).

Подставляя это выражение для х в заданную нелинейную функцию у = F (х), разложим ее в ряд Фурье:

у — F (х) = С0 + Dxsin Ш + Сг cos Fit + D2sin 2Ш + C2 cos 2Ш, (VI1.5)

где C0; Cy, Dy, C2; D 2 — коэффициенты ряда Фурье.

Полагаем, что постоянная составляющая в искомых колебаниях отсутствует, т. е. удовлетворяется соотношение

Это условие выполняется всегда, когда нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат и отсутствует внешнее возмущающее воздействие. В приведенном выше разложении в ряд Фурье произведем, согласно (VII. 1), замену

sin Qt = — \ cos ffl = —

aaQ

иотбросим все высшие гармоники ряда Фурье, предполагая, что они не пропускаются линейной частью системы. Тогда уравнение нелиней­ ного звена (VI 1.4) для первой гармоники выходной величины с учетом

(VII.5) и (VII.6 ) примет вид:

где g (а) и g' (а) — коэффициенты, соответственно определяемые формулами:

Итак, нелинейное уравнение у = F (х) заменяется приближенным уравнением для первой гармоники (VII.7), похожим на линейное уравнение. Особенность его заключается только в том, что коэффици­ енты уравнения зависят от искомых величин а и Q (т. е. от амплитуды и частоты искомых автоколебаний). В связи с этим замена уравнения (VII.4) уравнением (VII.7) называется гармонической линеаризацией, а коэффициенты g (а) и g' (а) коэффициентами гармонической линеа­ ризации нелинейного звена. Выражение

246

является передаточной функцией нелинейного гармонически линеари­ зованного звена. Используя уравнения линейной части системы (VI 1.3) и приближенное уравнение нелинейного звена (VII.7), получаем харак­ теристическое уравнение всей системы в виде:

т. е. определении из уравнения (VII. 10) амплитуды а и частоты Q колебаний. Как известно, однородное линейное уравнение может иметь такое решение лишь тогда, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Для определения условий, при которых характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней, можно применять любой критерий устойчивости линейных систем. Следовательно, нелинейная задача опять сводится к линейной, которая подробно была разобрана выше.

Так как при линейном анализе широко использовался критерий Гурвица, рассмотрим особенности его применения для анализа пе­ риодических решений (автоколебаний).

Все остальные определители Гурвица должны быть положительны. Так как для отыскания автоколебаний необходимо определить два параметра а и Q, то к (VII. 11) необходимо добавить еще одно уравне­ ние. Такое уравнение появляется после подстановки в характеристи­ ческое уравнение системы чисто мнимого корня р = /со и выделения вещественной и мнимой частей. Для простых систем, порядок которых не превышает 3 или 4, появляется следующее дополнительное уравне­ ние:

для системы третьего порядка

Использование определителя Гурвица особенно удобно для ана­ лиза однозначных нелинейностей, т. е. когда в коэффициенты харак­ теристического уравнения не входит частота. Тогда появляется воз­ можность частоту и амплитуду автоколебаний определять независимо друг от друга из разных уравнений (VI. 11) и (VII. 12).

т. е. с увеличением амплитуды должен увеличиваться и определитель Гурвица.

247

Для неоднозначных нелинейностей неравенство имеет следующий вид:

Знак неравенства не должен меняться при малом отклонении © в обе стороны от Q, соответствующего исследуемому периодическому ре­ жиму, если величина Й входит в коэффициенты g и g'/Q.

Особенности применения метода гармонической линеаризации для анализа многоконтурных систем. Структурные схемы параллель­ ной работы ГА содержат по нескольку внутренних контуров, и в каж­ дом может находиться нелинейность, учет которой необходим по сооб­

1

к

1+Поо

Wo.c(р)

Т Г Ж

к ВЕа

ща

Рис. VII.I. Структурная схема электромагнитного контура при учете нелинейности типа ограничения в корректоре напряжения

ражениям устойчивости. Поэтому важно правильно производить эквивалентные преобразования многоконтурных схем, учитывая при этом нелинейность. В структурных преобразованиях нелинейных систем, в отличие от линейных, невозможно сохранение принципа суперпозиции. Поэтому, чтобы избежать ошибок, необходимо ампли­ туду на входе нелинейного элемента (НЭ) сохранять постоянной не­ зависимо от выполняемых преобразований. А это означает, что в не­ линейной системе не следует перемещать линейные звенья за НЭ. Преобразование же с линейными звеньями, расположенными до не­ линейного элемента или за ним, можно выполнять по общеизвестным правилам линейной теории. В этом случае НЭ сохраняют свое перво­ начальное расположение, независимо от выполненных преобразований с линейными звеньями.

Рассмотрим применение этих правил на примере анализа устойчи­ вости электромагнитного контура при параллельной работе генера­ тора с мощной сетью и учете нелинейности насыщения усилителя кор­ ректора. Структурная схема контура представлена на рис. VI 1.1.

Аналогичная структурная схема рассматривалась при линейном анализе в § 10. В ней на основании правил преобразования линейных схем все обратные связи приводились на вход корректора. В данном случае, когда корректор содержит нелинейность, такой перенос недо­

248

пустим из-за нарушения принципа суперпозиции. Произведем преоб­

ного фильтра. Эта особенность обусловлена действием положительной обратной связи по току I d (с коэффициентом компаундирования R х),

а)

^•п-р дЕд

*)

— ® -

Рис. VI 1.2. Преобразование структурной схемы элек­ тромагнитного контура с выделением линейной и не­ линейной частей

обладает необходимыми свойствами низкочастотного фильтра.

При расчетах устойчивости линейной модели двух однотипных ГА в случае пропорционального распределения нагрузки структурная схема с помощью известных правил преобразования [54] приводилась к структурной схеме параллельной работы ГА с сетью. Вообще говоря, данные преобразования для нелинейной системы неправомерны. Однако при автоколебаниях, происходящих с одинаковыми амплиту­ дами в системах регулирования обоих ГА, нелинейности не меняют условий симметрии. Это дает основание предположить возможность распространения методов упрощения, доказанных для анализа малых колебаний, на автоколебания. Поэтому анализ автоколебаний в даль­ нейшем во избежание дополнительного усложнения будем произво­

249