Файл: Болотин, Б. И. Инженерные методы расчетов устойчивости судовых автоматизированных электростанций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

коэффициентом С. Используя формулу для разложения в ряд Фурье (VI 1.8) и ограничиваясь первой гармоникой колебаний, получим

1 2я

2TCQ

«х = ГС sign р | м21р« 2 = — J re s ig n

p \u 2\pu2sm Q tat = — иг,

о

 

где « 2 = asinQC, рц2 = aQ cos QC

(V II.19)

 

Подставляя выражение (VII.19) в уравнение (V II.18), после неслож­ ных преобразований получим гармонически линеаризованное уравне­ ние МУ

и2

ky

 

1

(VII.20)

ui ~

2T-CQ

 

я

1

Тр

 

л

я + 2TCQ

 

 

 

Анализируя уравнение (VI 1.20), можно сделать следующие выводы: —■нелинейности существенным образом изменяют ПФ МУ;

—зависимость инерционности МУ от направления изменения выходной величины в колебательном режиме увеличивает коэффициент усиления и постоянную времени усилителя (при С < 0 );

—параметры МУ зависят от частоты колебаний системы. Рассмотрим методику исследования автоколебаний электромаг­

нитного контура при наличии одновременно двух описанных выше не­ линейностей.

Расчет автоколебаний в электромагнитном контуре при учете не­ линейности корректора. Преобразованная расчетная структурная

схема

электромагнитного

контура приведена

на

рис. VI 1.2,

б. Так

как обе рассмотренные

выше нелинейности последовательно

входят

в один

элемент регулятора — корректор, то

их

можно объединить.

Тогда гармонически линеаризованная ПФ корректора примет следую­ щий вид:

kKg(a)

 

 

(VII.21)

2TKCQ

 

 

 

 

 

1 +

1

+■я -J- 2TCQ

TKP

 

 

Запишем характеристическое уравнение с гармонически линеа­ ризованной ПФ корректора электромагнитного контура (III.6 )

a<>P3+ aiP2 + a2p + a3 = 0,

где a0 = kx’dTKTdo)

ai = k T K

xd + ( k-

kKg (a) k0. ,

я -f 27У7Й

X

 

 

1 4 2TCQ

x Xd— R

я -f- 2TKCQ

do’

 

254

й 2 — ^dO («3 X d) ’

 

 

 

kKg (a)

6 Kg (a)

2 ^ q0^6. n. p — ^1 -

a 3 — x d ( k

“H

 

2TKCQ ko. c + 1

2TKCQ

 

1 +

it

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если гармонически линеаризованная система третьего порядка

находится на границе

устойчивости, то

 

 

 

 

N n—i = аха2— а3а0= 0 ,

Q2 = -^-.

 

 

 

 

 

Uq

 

Подставляя

значение

коэффициентов,

получим

 

д а x d [*(я +

2TCQ) + kKko. сл8 (а)] + feKg (a) 2 jt£ Q0fe6.n.p ~ R i ( n + 2rcQ)

 

 

 

 

xdkTdOTKn

 

 

 

 

 

 

 

(VI 1.22)

Условие Л/ п _ 1

= 0,

как было показано выше,

приближенно можно

заменить на а х — 0.

Тогда имеем второе уравнение для определения

8 (а):

 

 

 

 

 

аг = kTK

2Ткс а

xd + ( k + kK8i^

- A x 'T d0- R

X

л +

 

л 2 Т С Й

 

 

X

 

к

 

(VI 1.23)

 

f

= 0.

 

 

 

2TCQ

 

 

Если в скобке выражения (VI 1.23) пренебречь малым коэффициентом k, то появляется возможность выразить амплитуду колебаний через пара­ метры системы независимо от частоты автоколебаний:

 

 

Тк (Ri ~Ь kxd)

(VII.24)

 

8(a)

 

 

 

 

^к^о. cxd^d0

 

 

В силу замены условия возникновения

 

автоколебаний Nn_ x = 0

на приближенное а х =

0

проверку устойчивости автоколебательного

цикла проведем согласно выражению

 

 

— >

0

(вместо

dNп

- > 0 | .

да

 

I

да

 

 

В нашем случае [см. выражение (VII.23)]— < 0 , т. е. предельный

да

цикл неустойчив. Действительно, с увеличением амплитуды коэффи­ циенту (а) уменьшается (см. рис. V II.4, б) и коэффициент а х становится отрицательным. Таким образом, нелинейность типа ограничения в кор-

255

ректоре не приводит к устойчивому предельному циклу. Подставляя значение g (а) из (VI 1.24) в (VI 1.22), получим

(я + 2TCQ) (xdk — Rj)

Tk.(Ri kxd)

( X d k K k o - с П ' k K k 6 . n. p' 2^Q0n)

 

Q2 = .

*к*о. c X d T d O

 

n x d k T d O T K

 

(VI1.25)

Так как автоколебательный цикл неустойчив, то в системе невоз­ можны автоколебания с частотой Q. Поэтому определенная из выраже­

ния (VII.25) частота Q имеет смысл собственной

частоты колебаний,

 

 

 

как

и

в

линейной системе

0/Ь)

 

 

[см. выражение (III.32) для

 

 

 

©о£ ]•

уравнения

(III.25)

 

 

 

Из

 

 

 

следует,

что

нелинейная

 

 

 

зависимость

постоянной

 

 

 

времени

корректора

от П

 

 

 

при

отрицательном

значе­

 

 

 

нии

С уменьшает

частоту

 

 

 

собственных

колебаний

 

 

 

электромагнитного

 

кон­

 

 

 

тура.

 

 

 

 

 

 

Рис. VII.5. Зависимость коэффициента гармо­

Проанализируем теперь

влияние

нелинейной

зави­

нической линеаризации

НЭ «переменный ко­

эффициент усиления» от амплитуды

симости ив = f (Id) на воз­

 

l — k , = — V;

/ / — *» = 3ft'.

никновение автоколебаний.

 

2 1

1

Гармоническая линеари­

 

 

 

зация

нелинейной

зависи­

мости

компаундирования. На рис. VI 1.3, в, г приведены

зависимости

ив = /

(Id), соответствующие различным внешним характеристикам.

При значениях а <; Ь данное нелинейное звено становится экви­

валентным

линейному. Поэтому будем определять

коэффициент

гар­

монической

линеаризации g (а) при условии

а >• £>.

Согласно

[40]

и рис. VI 1.3, а, для первого случая

 

 

 

 

 

8 (а) = К + \

(k, - kx) ( arcsin ± +

±

- | / ~

1 -

^ ) , (VI I.26)

 

 

g' (a) —- 0 при a >

b.

 

 

 

 

Для второго случая

(см. рис. VI 1.3, б)

 

 

 

 

 

g{a) = k\ — ^ [ k ’- k 2) (arcsin4 - +

А

 

1—

(VII.27)

Таким образом, в зависимости, представленной на рис. V II.3, в, характеристика, показанная ломаной линией, заменяется после ли­

неаризации прямой со средним между k2 и k\ наклоном g (а), который

256

при изменении

амплитуды

от

Ъ ^

а до

бесконечности

изменяется

в интервале k2 <

g (а) -< ky. Для амплитуды а < b имеем линейную

характеристику

с

наклоном

k 2.

На

рис.

V II.5 показано

изменение

коэффициента гармонической линеаризации g (а) в зависимости от относительной амплитуды alb для двух случаев (при k2 = 3k[ и k2 —

= - i - k\j .

Коэффициент

R x,

равный

 

соответствующему

значению

коэффициента k в диапазоне от k2до k\

с учетом гармонической линеа­

ризации можно записать R xg

(а). При а =

b коэффициент R , соответ­

ствует

линеаризованному

значению.

При

колебаниях

коэффициент

R xg(a),

соответствующий

характеристике

рис. V II.3,

г,

 

увеличи­

вается (кривая I, рис. V II.5),

а характеристике рис. V II.3, в — умень­

шается

(рис. VI 1.5, кривая II).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет устойчивости электромагнитного контура при учете нели­

нейной характеристики компаундирования.

Заменяя

строгое

условие

автоколебаний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

да

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на приближенное ах = 0 , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

а1= kTKXd + {k + К К . с) xd - R i T K8 (а) = °>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*(<■>= F

a

+ ( * + M U

 

Д г - ;

 

 

(Vii.28)

й =

[Xd (k + kKka, с +

1) +

2kKE qok6, n. p — R xg(a)] -7 —

5-----.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xd^dOTK

 

Проверим

условие устойчивости автоколебаний

 

 

 

 

(VI 1.29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dNп—t . ^ < 4 ^

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

да

да

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как с увеличением а растет и g (а)

(см. рис. V II.5,

кривая /), то

соответствующий ей автоколебательный

цикл неустойчив

( ~ 1<1 Oj •

Для характеристики II,

по которой с увеличением

амплитуды умень­

шается g (а), а

следовательно,

и g ( a ) R x; — > 0 ,

автоколебательный

цикл устойчив.

 

 

 

 

 

да

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

а <; b;

g (а) =

1

устойчивость

 

нелинейной

системы

эквива­

лентна устойчивости ее линейной модели. При g ( a ) > l,

что

соответ­

ствует характеристике / рис.

VI 1.5, в

 

системе появляется

неустой­

чивый предельный цикл. При ^ (а)< 1

в системе возможен

устойчи­

вый предельный цикл. На рис. VI 1.6, а, б приведены графики, характе­

ризующие

влияние параметров Тк\ R x,

kK-k0 C на

амплитуду

авто­

колебаний. Найдя значение g

(а), соответствующее параметрам

R x,

Тк, К ' К . с из графика II

(рис. V II.5), определим значение относитель­

257

ной амплитуды alb. Очевидно, что автоколебания возможны лишь от значения g-(a);>0,3, так как кривая I I находится в диапазоне 0,3<!

(а) •< 1. После подстановки значения g (а) в выражение для й по­ лучим

^ ' x d (fen “Г " ^о. с ~t~ 1) “f-

kTKxd + { k +

kK.k0. с К г ,dO

п. р

X

X

1

 

 

xd^dO^K

 

Рис. VII.6.

Зависимость

амплитуды автоколебаний

в электромагнитном

контуре от

параметров системы

возбуждения g (а) =

f (Гк; R ц kKk0.

с): а — g (а) = [ (Тк;

М о . с) при

# ! =

2;

6 — g(a) =

f ( T K; kKk0. с) при

 

 

 

Яi

= 3

 

Нетрудно заметить, что данное выражение совпадает с выраже­ нием (III.32), по которому определялась недемпфированная частота электромагнитного контура при рассмотрении системы в линейном плане. Следовательно, графики, построенные на рис. III.6 —III.9, могут характеризовать также зависимость частоты автоколебаний от настроечных параметров. Из выражения (VI.28) следует, что амплитуда колебаний тем меньше, чем больше петлевой коэффициент усиления К ' К . с и параметры генератора x'd и TdQ. Увеличение и Тк вы­ зывает увеличение амплитуды автоколебаний. При этом характерно, что частота Q не зависит от амплитуды колебаний.

258

Смотрите также файлы