Файл: Болотин, Б. И. Инженерные методы расчетов устойчивости судовых автоматизированных электростанций.pdf

подвижных трущихся частей, а в нелинейном звене имеется линейная восстанавливающая сила, уравнение нелинейного звена примет вид

L sign рх24 - k2x2 — k1x1 при рх2 ф 0;

(VII. 46)

+ при рх2 = О,

где хт — значение х г в момент остановки; k 2 — коэффициент пропор­ циональности выходной координаты.

В этом случае от значения выходной величины х %зависит второй член левой части первого равенства уравнений (VI 1.46), который обус­ ловлен наличием восстанавливающей силы. Выражение L sign р х 2,

ной величине. Такое уравнение нелинейного звена эквивалентно нели­ нейной функции х 2 = F (хj), изображенной на рис. V II.8 , а, где гори­ зонтальные линии соответствуют различным значениям хт. В данном случае влияние сухого трения оказалось эквивалентным влиянию люфта в механической передаче. Следует заметить, что люфт в редук­ ционной части механизма изменения оборотов в основном обусловлен сухим трением и в меньшей степени зазорами в кинематических па­ рах механизма. Нелинейность, вызванная сухим трением, описывается уравнениями (VI 1.45). Она свойственна электродвигателям механизмов изменения оборотов первичных двигателей.

Гармоническая линеаризация нелинейности типа «сухое трение». Определим коэффициенты гармонической линеаризации для харак­ теристики сухого трения, изображенной на рис. VII. 10, а при от­ сутствии заметных остановок внутри периода колебаний.

Полагаем, что решение для рх2 находится в виде [53]

Таким образом, формула гармонической линеаризации сухого трения с характеристикой вида рис. VII. 10, а будет

При исследовании нелинейной системы желательно получить решение для самой переменной х2. Полагая

х2 = а sin Ш\ рх2= aii cos Ш,

268

получим

a„ = aQ.

Тогда, обозначив

получим в соответствии с (VII.47) и (VII.48) формулу гармонической линеаризации характеристики момента сухого трения Л4тр для этого случая в виде

Расчет системы распределения активных мощностей с учетом не­ линейности типа «люфт» и «сухое трение». Передаточные функции элементов системы, за исключением редуктора и электродвигателя, берутся такими же, как и в расчете САРАМ для линейного случая. Рассмотрим ПФ электродвигателя при учете сухого трения, действую­

Характеристику момента трения принимаем в виде идеальной ре­ лейной. Согласно формуле (VII.49), характеристику силы сухого тре­ ния можно представить в виде

Подставляя выражение моментов в уравнение (VII.50), получим

Ip2a + k'pa -)- —lJ a>[ра = k"u.

Введем в рассмотрение постоянную времени двигателя T v Тогда

(VII.51)

269

Механические характеристики двухфазного асинхронного двига­ теля можно приблизительно представить в виде параллельных прямых

Уравнение редуктора при учете люфта будет

a = F (а).

После гармонической линеаризации люфта, согласно (VII.30), оно преобразуется к виду

Структурная схема системы с учетом гармонически линеаризован­ ных нелинейностей типа «люфт» и «сухое трение» представлена на рис. VII. 12. Характеристическое уравнение данной замкнутой системы имеет вид

270

Очевидно, что член g‘ ^ - , обусловленный нелинейностью типа

«сухое трение», входит в коэффициенты характеристического уравне­ ния так же, как и коэффициент kQ с. Следовательно, эта нелинейность действует как дополнительная обратная связь по скорости серводви­ гателя.

Определитель Гурвица и частота автоколебаний для данной си­ стемы третьего порядка, согласно (VII. 11) и (VII. 12), имеет вид

Рис. VI1.12. Структурная схема САРАМ с гармонически линеари­ зованными нелинейностями типа «люфт» и «сухое трение»

где А 0 и А 2 — соответственно коэффициенты при р 3 и р характеристи­ ческого уравнения (VI 1.54).

Очевидно, что одновременный учет этих двух нелинейностей су­ щественно затрудняет получение в общем виде границ устойчивости равновесия, автоколебаний и неустойчивости в плоскости двух наи­ более важных параметров. Поэтому разобьем исследование на два этапа. На первом будем пренебрегать люфтом, а на втором — сухим трением. Такое разбиение позволит наиболее наглядно показать влия­ ние каждой нелинейности на устойчивость системы. В качестве пара­ метров, в плоскости которых будут определяться характерные гра­ ницы устойчивости, выберем £др и k0, с.

Из уравнения (VII.55) легко найти границу устойчивости при пре­ небрежении действием обеих нелинейностей:

271