теля N n_ v может выйти за пределы интервала возможных для дан
ной нелинейности значений g (а). Тогда берется ближайшее крайнее его значение и подставляется в выражение (VII.33). В этом случае отбрасываются лишние участки границы устойчивости, полученные на первом этапе, и заменяются другими, вытекающими из ограничения интервала возможных значений g (а) для конкретной нелинейности.
Достаточные условия устойчивости (или |
неустойчивости) |
становятся |
в этом случае и необходимыми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем характеристическое уравнение замкнутого нелинейного |
контура, изображенного на рис. VI 1.7: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k0p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
(г оР2+ 1 )( ГР.сР2 + |
2|р. сТр. ср + |
= |
0 . |
|
(VII. 35) |
|
1) |
|
|
|
|
Полагая Т 0 = |
Тр сА, |
после несложных |
преобразований |
получим |
Ч . И V + 2Т1. |
СР3+ [ ц . с (Л2 + \ ) - k 0£ £ > -] Р» + |
|
Обозначим |
+ [2£р. СТР. с+ g (a) k0] Р + |
1 = 0. |
|
|
(VII.36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П . Л ! = Л ,; |
т 1.ЛАг+ [ ) - к , г Ц р - |
= А^, |
|
|
|
2ДР. СА £ р . с — - Ах, |
2 |р сТ р>с+ £ (я ) k0= A g. |
|
|
|
Предпоследний |
определитель |
Гурвица (VI 1.36) имеет вид |
АД— 1 = |
А^А^А^ — А 0А3) — А \ |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N « - г = (2Ер. еГ р . с ■+ 8 ( а ) |
К) |
2 £ р. с Ы |
{Аг+ |
j ) _ |
S' («) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
^ |
р . / р . с + ^ о ] ТР |
. |
С |
( |
V |
I |
1.37) |
Согласно приведенной выше методике, выбираем максимально |
возможную для исследуемой нелинейности типа «люфт» величину — |
■ |
(учитывая ориентировочно и частоту Q). Из рис. VI 1.8, б следует, |
что |
g'(a)max = 4 - |
ПР И Й = 1 |
H g ' ( a ) max = { |
, |
|
|
|
Частота Q лежит в диапазоне 3 — 4 Гц (19—25 рад/с). Следовательно, |
/ 8' (а) \ |
|
1 |
|
0,013-0,017с. |
|
|
|
\ ^ |
/max |
п (19 -f- 25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из условия положительности коэффициентов уравнения (VI 1.36) будем полагать
8' (а) ^ т р. с ( л 2 + 0
(VI 1.38)
Оh
Следует заметить, что данное условие в реальном диапазоне частот Q всегда выполняется.
Найдем значение g (а), доставляющее экстремум N |
^ |
|
M « - i |
;Р. Л с ( л 2 - |
1 ) - 1 р. с К К " |
Л ^ р . Д(а) = |
0, (VI 1.39) |
|
dg(a) |
где k. |
8' (а) \ |
|
|
|
|
^ • |
/max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определив |
из (VI 1.39) |
|
|
|
|
|
|
_^р. с^р.с(^ |
0 |
£р. с^О^З |
(VI 1.40) |
|
|
g (а) = — |
^ |
-----■! |
°p-c"u"a |
|
|
|
|
k 0 T р. с |
|
|
и подставив его в уравнение (VI 1.35), получим выражение |
|
|
К- |
Ц . С( А - \ У |
|
(V II.41) |
которое определяет границу неустойчивости. Это утверждение выте кает из отрицательного знака второй производной
™ п - 1 = —k0T р . с < 0 .
д82 (а)
Для определения достаточных условий неустойчивости подставим значение k0, полученное из (VII.41), в выражение (VII.40). Тогда
|
|
8 (а) = |
* р- С |
' |
№ 4 2 ) |
|
|
|
— 1) |
|
Необходимо, чтобы значение g (а) |
из (VI 1.42) |
не выходило за пре |
делы |
0 < Д < 1 , которые имеют |
нелинейность типа «люфт». Если это |
условие |
выполняется для реальных |
значений |
параметров £р с, к3, |
Тр. с, |
А, |
то уравнение (VII.41) |
является необходимым и достаточным |
условием неустойчивости. Оно определяет в плоскости параметров k„ и А границу, отделяющую область неустойчивости от области периоди ческих решений. Для определения границы, отделяющей область пе риодических решений от области устойчивого равновесия, подставим в уравнение максимально возможное в случае люфта значение g (а) = 1 и решим его относительно k0. После несложных преобразований получим
|
k = ^ Р - с^Р- с \Тр. с (''У — |
1) — 2^р, cfe3] |
(VII. 43) |
|
Т’р. с + 2£р. ck3 |
|
|
|
или при k3 = 0 |
|
|
|
ко 2£р. СТ р с (Л2 |
1). |
|
Данное выражение при линейном анализе определяет границу устой чивости электромеханического контура с PC. Из (VII.43) можно полу чить дополнительное условие существования границы устойчивости при наличии люфта в контуре регулирования. Действительно, k0 из (VII.43) будет положи
тельным, если
ко
:( Л З - 1)
|
|
^Sp. с |
0,10 |
|
|
Т0 (Л« - 1 ) |
|
|
|
2i4gp.c |
ОМ |
|
Данное выражение опреде |
|
|
ляет критическое значение |
ом |
|
коэффициента кзкр, имею |
|
щего смысл запаздывания, |
I |
|
вносимого |
гистерезисной |
0,07 |
|
петлей. |
При |
Т 0 = 0,16-+- |
|
|
|
н-0,04с А = |
1,5+-3 |
|
|
Р |
_ V ~ 2 . |
ОМ |
|
Ь р .с — „ > |
|
r~t>
°>K A °>B\ m
1 ___
k J
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кз. кр ^ |
0,025-^-0,25. |
0,05 |
|
Значение |
k3 |
при этом |
ом |
|
находится |
|
в |
диапазоне |
|
0,04—0,01с. |
Причем |
k3 = |
E |
|
= 0 ,0 1 с соответствует час |
0,03 |
|
тоте со0 |
= |
-^ -= |
25 |
рад/с |
|
|
|
(4 Гц), |
a |
k3 = |
0,04с |
час |
0,02 |
|
тоте м0 |
= |
6 рад/с (1 Гц). |
|
|
Заметим, |
что при |
сравни |
0,01 |
|
тельно |
высоких |
частотах |
|
колебаний |
|
со0 |
= |
20 +- 25 |
|
|
рад/с |
влияние |
|
чистого |
___i___ |
|
запаздывания |
|
(например, |
3 А |
|
теплового |
и запаздывания |
Рис. VII.9. Области устойчивости, автоколеба- |
|
топливоподачи |
в |
дизеле) |
|
ний и неустойчивости электромеханического |
|
может в несколько раз пре |
|
контура с НЭ типа «люфт» |
|
вышать |
влияние |
нелиней |
|
ного запаздывания, вносимого люфтом. Так, если при частоте 3—4 Гц, свойственной дизель-генераторам, максимальный коэффициент нелиней ного запаздывания составляет 0,013—0,017 с, то чистое запаздывание, достигающее значений т = 0,02-^0,04 с, очевидно, больше. Прибли женно совместное влияние чистого запаздывания и люфта может быть учтено увеличением коэффициента k3 на величину чистого запаздыва ния, т. е.
g' (Д)гг
+ g(a) т.
Q
При a = 2b g'(a)max = -^ -; g(a) = - j и, следовательно,
kg — S' ( fl)m ax |
— X . |
|
|
1 |
|
Q |
2 |
|
При больших амплитудах колебаний g' |
(а) О, a g (а) -- |
1, следова |
тельно, ks — т. Таким образом, при больших амплитудах |
колебаний |
результирующее запаздывание определяется целиком чистым запазды ванием, а при малых — распределяется приблизительно поровну между нелинейным и чистым запаздываниями.
Амплитуда и частота автоколебаний системы IV порядка может быть определена из уравнений (VII.И) и (VII. 13):
|
|
П2 = |
Ai |
* * -! = |
<>• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая выражение (VII.36) и (VII.37), |
получим |
|
Q __ 1 / 2 |р . сТ У с Н~ S (а) bp |
|
|
|
|
2 Т 1 СА* |
6р. с И |
с {а2 ~ 0 |
+ V t \. с( л 2 - |
1)2 + *0* зК * з- 272р. с( л 2 + 1)]} |
g ( a ) = : |
|
|
( Т ' р . С “Г i p . С ^ з ) ^ 0 |
|
|
|
_ 1р. М { |
а 2 ~ 1) + V |
Tl [ A 2 - ^ 2 + |
A \ k 3 [A2k0k g ~ 2 ( A 2 + l ) T l } } |
|
|
А (Та -Г А £р. сй3) £0 |
Задаваясь значениями g (а) в плоскости двух наиболее важных параметров, можно построить линии равных амплитуд и частот авто колебаний. На рис. VI 1.9 изображены графики равных амплитуд и частот автоколебаний в плоскости параметров k0 и А. На этом же ри сунке показаны области неустойчивости и устойчивости равновесия (области I к II соответственно).
§32. Расчет автоколебаний, обусловленных нелинейностями систем автоматизации
Проанализируем влияние нелинейностей типа «люфт» и «сухое тре ние» на частоту и амплитуду автоколебаний в системе распределения активных нагрузок. В главе V производились расчеты устойчивости линеаризованной модели такой системы. Причем действие люфта приб лиженно учитывалось введением чистого запаздывания.
Такая идеализация позволила с запасом оценить устойчивость си стемы и построить ее границу в плоскости двух наиболее важных на строечных параметров ky и k0 с. При учете нелинейностей в плоскости тех же параметров появится зона автоколебаний, которая распола-
гается между областью устойчивости равновесия и неустойчивости. Выбор в качестве определяющих нелинейностей типа «люфт» и «сухое трение» подсказан опытом экспериментальной наладки подобных систем автоматизации на судах.
Нелинейность типа «насыщение» усилителя при действии обратной связи по скорости, как правило, не проявляется, т. е. усилитель ра ботает благодаря обратной связи в линейной зоне, поэтому остановимся подробнее на нелинейности типа сухого трения. Данная нелинейность часто встречается в механических звеньях систем автоматического управления. Как правило, она присутствует в механизмах изменения оборотов первичных двигателей, через которые осуществляется регу лирующее воздействие от систем поддержания частоты и распределе
ния |
активных |
мощно |
|
|
В) FT ( a v S i n £ l t ) |
|
стей. |
Особенностью |
не |
|
|
|
линейности |
типа |
«сухое |
|
|
|
|
трение» является |
то, |
что |
|
|
|
|
сила |
трения FT может |
|
|
% 2тс |
принимать любое значе |
|
|
0 |
(|>=s i t |
ние в |
пределах |
|
|
|
|
-а |
|
|
|
|
|
|
|
—L < E T< + L, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(VII .44> |
|
|
|
|
равное в кажд ый данный |
|
|
|
|
момент време ни |
сумме |
|
|
|
|
всех |
других |
действую |
|
|
|
|
щих сил. Характери |
Рис. VII.10. Статическая характеристика НЭ |
стика |
силы |
сухого тре |
ния |
представлена |
на |
типа «сухое трение» |
|
рис. VII. 10, а. Это самая распространенная |
характеристика, |
по виду |
напоминающая релейную. С учетом (VII.44) |
имеем |
|
|
|
|
|
FT = Lsign рх2 при |
рх2=^ 0; |
|
|
|
|
—L < |
FT < + L при |
рх2 = 0 . |
|
Здесь х 2 — выходная |
координата звена. |
|
|
противо |
Сила сухого трения постоянна по величине и имеет знак, |
положный скорости изменения выходной величины х 2. В том случае, когда скорость выходной величины равна нулю, сила трения может при нимать любое значение от + L до —L, в зависимости от сил, действую щих в кинематической паре с сухим трением. Если в системе с нелиней ностью типа сухого трения можно пренебречь инерционностью под вижных трущихся частей, а в нелинейном звене отсутствует восстанав ливающая сила, то уравнение нелинейного звена принимает вид
|
L sign рх2 = kpc-i |
при рх2 ф 0; |
(VII. 45) |
|
—L < fe1x1< -)-L |
при рх2 = 0 , |
|
|
где*! — входная координата; /гх — коэффициент пропорциональности. Если в системе с нелинейностью можно пренебречь инерционностью
