Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Применяя аналогичное преобразование для второго интеграла в формуле Пуассона, получим решение задачи Коши (46) в виде *)

Теперь нетрудно решить задачу Коши в двумерном пространстве и для неоднородного уравнения. Она сво­ дится к только что рассмотренной задаче и к задаче Коши для неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Эта последняя решается методом, описанным на стр. 55. Мы не будем повторять всех выкладок **), напишем лишь результат:

W (х, у, t) =

Из этой формулы читатель легко может получить решение, обусловленное действием точечного фактора /(().

§ 12. Физическая интерпретация формулы Пуассона

Обратимся снова к формуле Пуассона. Пусть началь­ ные функции ф (М) и ф (М) не равны нулю лишь в области D, ограниченной поверхностью S (рис. 11). Будем наблю­

с центром в точке М не пересекает область D. Поэтому интегралы в правой части формулы Пуассона будут равны нулю; следовательно, для таких значений t имеем и{М, t) = О (возмущения не дошли до точки М). Обозначим через dx расстояние от точки М до ближайшей точки поверхности

*) Описанный метод получения формулы (47) называется мето­ дом спуска. Аналогичным путем из формулы (47) можно получить формулу Даламбера.

**) Читателю рекомендуется провести все выкладки самостоя­ тельно.

73

будут отличными от нуля, и, следовательно, для таких

значений t имеем и (М, 0 ^ 0 . Для t > t 2 сфера S°m не будет пересекать область D, и, следовательно, и(М, t) снова станет равной нулю. Если мы представим себе

теперь, что из каждой точки области D по всем направ­ лениям распространяются возмущения со скоростью а (принцип Гюйгенса), то описанные выше изменения функ­ ции и (Л4, 0 со временем физически можно интерпрети­ ровать следующим образом.

Для t< itx возмущения не дошли еще до точки М; в момент t = tx передний фронт волны возмущений дости­ гает точки М; в течение промежутка времени через точку М проходит волна (зона) возмущений; в

момент t = t2 через точку М проходит задний фронт волны возмущений, и с этого момента среда в точке М остается в покое.

Пусть в двумерном случае начальные функции ср (х, у) н ф(х, у) не равны нулю лишь в области D, ограниченной

в двумерном случае есть передний фронт волны (он дости­

74

фронта. Принцип Гюйгенса в этом случае не выполняется. Это легко понять, если иметь в виду, что рассмотренная двумерная задача фактически представляет собою трех­ мерную задачу, в которой область ненулевых значений начальных функций <р(М) и ф(М) является бесконечным цилиндром, образующие которого параллельны оси г.

Очевидно, сферическая поверхность Sm при любых значе­ ниях t > t x будет пересекать этот цилиндр, и поэтому интегралы в формуле Пуассона не будут равными нулю для всех значений t > t x.

§13. Системы квазилинейных уравнений

В§§ 1—12 мы рассмотрели метод характеристик в при­ менении к линейным уравнениям и системам. В последую­ щих параграфах будет рассмотрено применение метода характеристик к широкому классу нелинейных уравнений

исистем.

Рассмотрим уравнение

an wxx + 2anwxy+ a2iwuy+ cl = О,

где ап , о|2, а.,2, d —функции от х, у, wx, wy. Такой вид имеют многие уравнения математической физики с двумя независимыми переменными.

Если положить и = wx, v —wtJ, то это уравнение будет эквивалентно системе

anUx+ cii2Uy + al2vx -\-ctnVy + d = 0, uy — vx = 0. (49)

Это система нелинейных уравнений. Она является частным видом системы

где Ah Bh Ch Dh Ei суть функции от (x, у, и, v). Системы вида (50) называются квазилинейными. Система

(49) является также квазилинейной.

§ 14. Характеристики систем квазилинейных уравнений

75

/ = (A/N, BIN), зависящим от самой функции и. Диффе­ ренциальное уравнение характеристик для оператора Н имеет вид

Очевидно, чтобы определить характеристики, надо фикси­ ровать функцию и(х, у). Таким образом, для каждой функции и [х, у) будут свои характеристики. Поэтому говорят о характеристиках на данной функции и (х, у).

Для оператора

h[u, v] —Hi [и] + # 2[Д — Аих -\- Buy-\-Cvx -\- Dvy,

характеристиками будут линии, определяемые уравнением

•0 = -~. Оператор h[u, v\ приводится к характеристи­ ческому виду

где

Из пары операторов

hi [и, v] — AiUx Ar BiUy-j-CiVx-}-D^y, h2 [и, v] = A 2ux -f- B 2uy-f- C2vx + D2vy

можно получить пару других операторов:

где

d

a Xt определяются из уравнения

76

Классификация проводится совсем аналогично. Дифференциальные уравнения характеристик для пары

операторов (hx, h.2) имеют вид

Отметим еще раз, что на каждой паре функций (и, v)

характеристики свои.

§ 15. Образование разрывов в решении

Понятие характеристик для квазилинейных уравнений и систем позволяет обнаружить существенно новые явле­ ния (например, образование разрывов), присущие процес­ сам, описываемым квазилинейными уравнениями (систе­ мами), а также дает эффективный метод приближенного (численного) решения систем квазилинейных уравнений.

П р и м е р 3. Рассмотрим уравнение

dx

Дифференциальное уравнение характеристик имеет вид —— = и. Сле­

довательно, в левой части уравнения (51) дифференцирование произ­ водится вдоль характеристик, т. е. уравнение (51) можно написать

77

Очевидно ■- ^ и в (хп, tn) будут равны со. Таким образом, в момент

t„ производная их обращается в со—наступает градиентная катастрофа (в качестве /0 надо брать наименьшее значение t, при котором про­ изойдет пересечение характеристик).

Аналогичная ситуация может иметь место и для систем квазили­

Следовательно, систему (52) можно записать в виде

= афх (х) -f-Рф,2 (х) > 0. Следовательно, начальное возмущение функ­ ции и будет распространяться вправо по постоянному фону у = — и0. Таким образом, для любого t~> 0 на каждой характеристике 1-го семейства выполняется соотношение

78