Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

функции cp(r) и ф(г) будут продолжены четным образом (мы сохраним для^ продолженных функций прежние обо­

значения: ср(г) и ф(г)). Решение задачи для v (г, t) будет иметь вид

s(o, *)=■§-■

Для вычисления й(0, t) применим правило Лопиталя (учитывая также определение ср2 и ф2):

й (0 , t) = ”2 {ф (а/) -+-ф (—at)-\-atq>' (at) — aU$>' (— я/)} +

+ {я*Ф (at) + аЩ(— ей)}.

Поскольку функции ф (г) и ф (г) четные, а функция

соотношения (42) получим формулу Пуассона для иско­ мого решения задачи Коши (36) — (37):

Таким образом, из предположения о существовании решения задачи Коши для трехмерного пространства сле­ дует, что оно должно представляться формулой (43). Сле­ довательно, оно единственно.

2 . Теперь мы можем решить задачу Коши в трехмер­ ном пространстве для неоднородного волнового уравнения:

я2 Ли + ДМ , f)—-utt,

и (М, О ) - ф (М), щ(М, 0)=ф (М ).

69

По формуле Пуассона

оаи—х)

Тогда, как было показано на стр. 55,

w (М, 0 = $Щ(М, t, x)dx,

или

W

О \ Ka\t—т)

Во внешнем интеграле произведем замену переменной интегрирования a(t — т) = г, получим

где г —расстояние от точки М до переменной точки ин­ тегрирования Р, г = гмр■Этот интеграл можно, очевидно,

70

записать как интеграл по области D<fv ограниченной сфе­

Если внешний возбуждающий фактор f(M , i) отличен от нуля лишь в одной точке М0, в которой он равен /(/), то в этом случае волновое уравнение можно написать в виде

a*Au + f(t)8(M , Л40) = ии,

начальным условиям (следовательно, обусловленное лишь действием точечного фактора f(t)), можно написать со­

3.Из формулы Пуассона можно также получить реше­

71

В самом деле, если в формуле (43) функции ср (Р) и ф (Р) не зависят от переменной г, то интегралы по поверхности сферы 5 ^ можно свести к интегралам по

большому кругу этой сферы Vfy, лежащему в плоскости (х, у) (рис. 10). Интеграл по верхней половине сферы <S‘() равен

72