Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

мых и обратных волн. Краевому условию она удовлетво­ ряет в силу леммы 1. Проверим начальные условия:

и (х, 0) =

 

~ Sj ф* (г ) dz = ф! (х) = ф (х)

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

ДЛЯ Х2г0,

Ut (X, 0) =

Г

^ х) + аЬ .М )__f_

[афг (х) -f йф! (х)] =

 

 

 

 

= Фь (*) = Ф( х ) для х ^ О .

Таким образом, начальные условия также удовлетворяются.

Краевая

задача

 

 

 

 

 

 

=

 

(34)

и (х, 0) — ф(х),

щ(х, 0) = ф(х)

для 0 < * < с о ,

 

 

 

их (0 , ^) = О

 

решается

аналогично, но при

этом

начальные функции

ф(х), ф(х) продолжаются четным образом на отрицатель­

ную часть прямой.

характеристик можно также построить

3.

Методом

решения однородных краевых задач на конечном отрезке с краевыми условиями первого и второго типа. Для определенности рассмотрим первую краевую задачу

ц(х, 0) = ф(х), щ(х, 0) = ф(х), 0 (

3 5 )

u (0 , 0 = 0 >

и (L> 0 = 0 > ( 2 s 0 .

 

 

Для построения решения продолжим начальные функ­

ции ф (х) и ф (х) на всю прямую нечетным образом

отно­

сительно точек х = 0 и

х = /. Обозначим через q>2 (x) и

ф2 (х) продолженные таким способом функции *).

Тогда

функция

x+at

 

 

и(х.

+ х $ - Ь й *

 

_______________

x — at

 

 

*) Если функция ф (х) нечетна (четна) относительно

двух точек:

х = 0 и

х — 1, то она периодична с периодом 21. Действительно, по

свойству

нечетности функции ф (х) относительно х = 1 имеем тожде­

ство ф (l— z) з= —ф (/ + г). Полагая здесь

г— х-{-1, получим ф(— х) =

= —ф (х + 2/). Так как ф (— х) =

—ф (х),

то ф (х + 2/) == ф (х). Поэтому

начальные функции ф (х)

и ф (х)

следует

продолжить нечетным

обра­

зом на отрезок (— I, 0),

а затем периодически, с периодом

21, на

всю прямую.

 

 

 

 

63

и будет решением краевой задачи. Краевым условиям эта функция удовлетворяет в силу леммы 1. Начальные усло­ вия проверяются непосредственно, как в задаче на полу­ прямой.

§9. Отражение волн на закрепленных

ина свободных концах

Решение краевых задач (33) и (34) можно написать в форме (15):

и(х, ^ = Ф(х — & )+ Р(х + &).

Будем интерпретировать и как отклонение. Вдоль харак­ теристики x — at = c1 отклонение, обусловленное прямой

волной,

постоянно: Ф (х — at) = Ф (су). Вдоль

характери­

 

стики x-\-at — c2 откло­

 

нение,

обусловленное

 

обратной волной, по­

 

стоянно:

 

F (х -f at) =

 

— F (с2). Таким образом,

 

возмущения распростра­

 

няются

по

характери­

 

стикам.

нахождения ве­

 

Для

 

личины

в

отклонения

 

и (*„, ^0)

фиксирован­

В == {у>

ной точке (х0, /,,) области

ОД > 0} через точку (х0, tn) плоскости :(х, t) про­

ведем две характеристики

x — at = x0 — atn и x-\-at = x0+

+ at0, пересекающие ось

х соответственно в точках — лу

и х2 (рис. 9). Отклонение и (х0, t0) в точке х0. в момент времени t0 можно рассматривать формально как сумму отклонения, обусловленного обратной волной, пришед­ шей из точки (х2, 0), и отклонения, обусловленного пря­

мой волной, пришедшей из точки

(— ху, 0). Но точка

(— х1г 0) не принадлежит области

5 = { х ^ 0 , t^sO} и

начальные условия в задачах (33) и (34) не заданы в точке — хх.

Однако из

краевого условия задачи

(33)

следует, что

 

Ф (— z) = — F (г).

 

 

 

Следовательно,

Ф (— лу) = — F (лу).

Поэтому

вместо пря­

мой волны, идущей из точки — лу,

можно

рассматривать

обратную волну, вышедшую в момент t =

0

из симметрич­

64

ной точки хх. Эта обратная волна за время tx дойдет до точки х = 0. С момента t — t1 ее надо заменить прямой волной, вышедшей из точки х = 0 в момент t = tx и несу­ щей величину отклонения, равную — Ф (— Xj). Таким образом, при соблюдении краевого условия и (0 , /) = 0 на конце х — 0 происходит явление отражения с сохранением величины отклонения, но с изменением его знака на про­ тивоположный.

Аналогичным образом устанавливается, что при соблю­ дении краевого условия ur (0 , 0 = 0 на конце х = 0 проис­ ходит явление отражения с сохранением величины и знака отклонения.

§ 10. Решение задачи о распространении краевого режима на полупрямой

Рассмотрим неоднородную краевую задачу на полу­ прямой

 

 

Cl~tlx x - Utf,

 

 

и(х, 0) = ф(х),

щ{х, 0) == гр (х), х > 0 ,

 

 

и (0 ,

^) = (я (/),

t> 0 .

 

Ее можно разбить на две задачи:

 

 

1) однородная

краевая задача

 

 

 

 

a2vxx = vH,

 

 

v(x, 0) = ср (х),

Vt (х, 0) — Ф (х),

х > 0 , п(0 , 0

= 0 ;

2 ) задача о распространении краевого режима

 

 

a2wxx = wtt,

 

 

w(x, 0) = 0 ,

wt {x,

0) = 0 ,

t) = pi (t), t>

0 .

Тогда u = v-\-w.

 

мы уже умеем решать. Займемся

Задачу для v (x, t)

задачей о распространении краевого режима.

 

Поскольку единственной причиной возникновения воз­ мущений является краевой режим, будем искать решение

в виде прямой

волны

 

 

 

 

kw(x,

t) = 0 (x — at).

 

Из начальных

условий

находим

w (х, 0) = Ф ( х )^ 0

для

х > 0 . Очевидно, условие wt (x,

0) = — аФ'(х) = 0

для

3 В, Я. Арсенин

65

х > > 0 также будет выполнено.

Из

краевого условия нахо­

дим Ф (— a/) = p(0> f> 0 . Таким образом,

 

 

О,

 

z > 0 ,

 

 

Ф (2) =

г/а)

г < О,

 

 

р (—

 

или Ф (г) = г| (— z/а) р (— z/a),

где ц (|) — единичная функ­

ция, равная единице для ^

> 0

и нулю для £ <

0 . Сле­

довательно,

 

 

 

 

 

w(x, 0 = ч ( * - ! ) ц ( * - £ ) .

 

Аналогично решается задача о распространении крае­

вого режима

второго типа: их (0,

t) — v(t).

выше,

Используя

явление отражения, рассмотренное

легко решить задачу о распространении краевого режима первого или второго типа на конечном отрезке*).

Методом характеристик можно было бы решить еще ряд задач, относящихся к одномерному неоднородному волновому уравнению. Однако рассмотренные задачи уже дают ясное представление о возможностях метода харак­ теристик, поэтому мы ограничимся этими задачами.

§11. Решение задачи Коши для трехмерного

идвумерного волновых уравнений. Формула Пуассона

 

Ряд задач, относящихся к дву- и трехмерному волно­

вым

уравнениям

сводится к задачам, уже разобранным

в •

предыдущих

параграфах.

Мы

рассмотрим

некоторые

из

них.

 

 

 

 

 

1.

Задача

Коши для однородного волнового уравн

ния в трехмерном пространстве:

 

 

 

 

 

а2 Аи — ин,

 

(36)

 

 

и(М,

0) = <р (М),

щ{М,

0) = г|>(Л1).

(37)

Для ее решения введем в рассмотрение вспомогатель­ ную функцию # (г, t) — усреднение искомого решения по сфере SrM с центром в точке М и радиусом г:

а 0 =

И u {р’ t] dap’

(38)

S M

где Р — переменная точка интегрирования.

*) Читателю предлагается самостоятельно решить эту задачу.

66

Если обозначить под которым виден do = г2 dco. Поэтому

через Ао элемент телесного угла, из точки М элемент площади da, то й можно также записать в виде

а (Г, t ) = ^ jjjj и(Р, t)da>.

(39)

Применяя к интегралу в формуле (38) теорему о сред­ нем значении и устремляя затем г к нулю, получим

S(0, t) = u (М, t).

(40)

Таким образом, для нахождения функции и(М, t) доста­ точно найти функцию й (г, t). Чтобы поставить задачу для функции й(г, t), нам потребуется

Ле мма . Справедливо соотношение

Аи —Дг (и).

[Здесь в левой части лапласиан Ди берется по коор­ динатам точки М, а в правой части, т. е. Д, (й), — по переменной г. В дальнейшем мы будем опускать значок г

уоператора Д.]

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть DrM— область, ограничен­

ная сферической поверхностью SrM. По формуле Остро­ градского имеем

Ш л“‘гт=И !а ‘г‘’ =Иэ>=-

Применяя к последнему интегралу формулу (39), получаем

Аи dx = 4яг2-з-. дг

С другой стороны,

3*

67

Следовательно,

г

jj Р2Аu d p = r2^ .

О

Дифференцируя это соотношение по г, получим

Au = l~fij(r2ur) = A(ii).

Лемма доказана.

Предположим теперь, что решение задачи (36) —(37) существует. Тогда, применяя операцию усреднения по сфере S rM к тождеству а2 Ам == utt и используя лемму,

получаем

или

а2 (тгг-\-2иг) == т и.

Если ввести новую функцию v — ra, то последнее соот­ ношение можно записать в виде a2vrr= vH. Таким обра­ зом, функция v (г, t) удовлетворяет одномерному волно­ вому уравнению.

Применяя операцию усреднения к соотношениям (37), получим

(41)

Пусть Ф1 (г) = гср (г) и tyi (г) = гф (г). Очевидно, что

v(r, 0) = фх (г), vt(r, 0) = tp! (г), v (0, 0 = 0.

Таким образом, для v (г, t) мы имеем следующую задачу на полубесконечной прямой:

a2vrr = vtt,

v(r, 0) = ф1 (г),

 

vt (r, 0) = %(г), о (0 ,

0

= 0 .

 

Для ее

решения

начальные

функции ф! (г) и

(г)

надо, согласно § 8 ,

продолжить нечетным

образом на

полупрямую

(— оо,

0)

и для

продолженных

функций

Ф2(0 и ф2(0

написать

формулу

Даламбера.

 

При

этом

G8

Смотрите также файлы