Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

вдоль всей этой характеристики постоянным. Следовательно, каждая

характеристика 1-го семейства есть прямая.

участке

На участке

(х0, лу)

характеристики расходятся, а на

(хъ лу) —сходятся.

Следовательно, последние пересекаются.

Пусть

(х'0, i'0) —низшая

точка

пересечения. В точке (х„, Q производные их

и U( равны со,

т.

е.

происходит градиентная катастрофа.

С этого

момента в решении

образуется разрыв.

 

§16. Одномерные плоские адиабатические течения газа

Крассмотренной системе (52) сводится система урав­ нений газодинамики для плоского одномерного движения политропного газа

Vi -f VVX 4- * р х = О,

(53)

г

 

 

pt + vpx + pvx = 0, P = y P Y.

 

(Это адиабатическое движение.)

 

Полагая ^ = a2pY_1 = ca,

получим

 

Vt+ vvx + j^-j-ccx ==0,

Ci+ vcx+ ^ ^ - c v x = 0.

(54)

Приводя эту систему к характеристической форме, получим

da

.

2

dc п

dv

2

dc

0 ,

dxx

'

у — 1

dxi

О,

dx2

У— 1

dx2

где

 

 

 

 

d

d .

 

, d

d

4 r + (v + c )-^

/

dxx

dx-.

= -df + (v -

c)e x-

Следовательно, вдоль каждой характеристики 1 -го семейства

 

 

lH----с = const,

’

 

 

 

 

'

у — 1

 

 

 

а вдоль каждой характеристики 2 -го семейства

 

 

 

V----- ^—г с — const.

 

 

 

 

 

у- 1

 

 

 

 

Полагая г = v -f

2

с,

s —и—у

2

-с,

из системы

(54)

_

^

получим эквивалентную ей систему в инвариантах:

 

rt + (ar -f Ps) rx —0, s^ +

(as +

Pr)sx = 0,

 

где a = - 2- + J-^— ,

Р — ~ 2 ----4— • ^ т0

и есть система

ви'

да (52).

 

 

 

 

 

 

 

79

в

Если начальные профили г и s суть <р2 (дс) и ф2 (х), то

решении г наступит разрыв в момент /0. Следовательно,

и

о = 0,5 (r-j-s0) будет

разрывной. Образование разрыва

можно интерпретировать

иначе.

 

Формула i>= 0,5 (r + s 0) показывает, что точки г-волны

с большими значениями г будут двигаться быстрее, чем точки с меньшими значениями г. Следовательно, при движении r-волны передний фронт становится круче, а задний — положе. В некоторый момент времени t0 произой­ дет опрокидывание волны. Это и есть градиентная ката­ строфа.

§ 17. Численное решение систем квазилинейных уравнений методом характеристик

Рассмотрим один класс гиперболических систем ква­ зилинейных уравнений вида

Аг (и, v)ux -\-Bx(u,

v) иу-\-Сх (и,

v)vx +

(ы, v)vy = 0,

A2 (u , v ) u x + B 2 (u ,

v)uy+ C2(u,

v)vx-\-D2(u, v)vy = 0,

в которых коэффициенты Л;, Bt, Ciy Di не зависят от х, у. Эту систему можно привести к характеристической

форме

£ +

v)*L = 0,

du

dv

dx2 + M U>

(55)

Рассмотрим на оси x дискретную последовательность точек. Будем называть эти точки узловыми точками нуле­ вого слоя. В каждой из этих точек известны значения функций и и у (начальные значения). По этим значениям можно определить в каждой точке нулевого слоя направ­ ления характеристик обоих семейств по формулам

dx

___

+

/ т \

dx

___

Ах-\-Х2А.2

. . . .

~dy

Bx + h B z ’

 

dy

~

Вх + 1.гВ2 -

l 11*

Через каждую

узловую точку нулевого слоя проводим

в найденных

направлениях

прямые

до их пересечения

с соседними прямыми. Точки пересечения будем называть узловыми точками первого слоя сетки (на рис. 16 они отмечены кружочками). Покажем, как можно определить значения функций и и v в узловых точках первого слоя.

Рассмотрим произвольную

точку первого

слоя (на

рис. 16

она отмечена цифрой 3)

и соответствующие точки

(/ и 2)

нулевого слоя. Пусть

щ, щ —значения

функций

80

и и у в точке i (/ =1, 2, 3). Очевидно, система (55) экви­ валентна системе

du + kxiu,

v)dv = 0 (вдоль

характеристик

1 -го семейства),

du-{-k2(и,

v)dv = 0 (вдоль

характеристик

2 -го семейства).

Заменяя в этой системе дифференциалы приращениями:

d u ^ u 3— их,

d v ^ v 3— vx

—в первом уравнении

и3— и2,

dvf^v3— v2

—во втором уравнении,

получим систему

 

 

«3 +

^1 («1,

Щ) V3=

«! + kx(«1, П х )^ ,

и3+

k2(« 3,

Ц2) v3=

иъ- f k2(и2, V,) v2.

Из нее находим и3 и v3. И так для произвольной точки первого слоя.

Определив значения функций и и и во всех точках первого слоя, такой же процедурой определяем значения функций и н v в точках второго слоя. И так далее

(рис. 16).

ЗАДАЧИ

1. Бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, от­

личным от нуля лишь на интервале (с, 2с) и имеющим форму лома-

3

ной с вершинами в точках с,

с, 2с. Построить (начертить) профиль

струны для моментов времени

 

£

( £ = 1, 2,

3).

 

^* = 2а ^

 

2.

Решить задачу 1, если

начальное отклонение отлично от нуля

лишь

на интервалах (— 2с, — с) и

(с, 2с) и имеет форму

ломаной

с вершинами в точках — 2с, — 1,5с,

— с,

с, 1,5с, 2с.

 

3.

Бесконечной

струне сообщена только на отрезке —

о колеба­

поперечная начальная скорость v0 = const.

Решить

задачу

нии этой струны.

Построить

профиль струны для

моментов времени

tk = Yak <* = !. 2. 3).

4. Полубесконечная струна с жестко закрепленным концом воз­ буждена начальным отклонением, отличным от нуля лишь на

81

отрезке (с, Зс), имеющим форму ломаной с вершинами в точках с, с2с,

Зс.

Начертить

 

профиль

струны

 

для

моментов

времени

tk = - ~ k

(k = 2,

4,

6).

 

 

 

момент

времени

^ = 0

полубесконечная

струна

 

5.

В начальный

с жестко закрепленным

концом

получает в точке

х — хп поперечный

удар,

сообщающий

струне импульс Р.

Решить

задачу

о колебании

струны под действием этого импульса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Бесконечный упругий стержень получен соединением в точке

%= 0

двух полубесконечных

однородных

стержней

с плотностями

массы и модулями упругости pj_,

Ег; р2, Е 2.

Пусть из области

х <

0

по стержню бежит волна % (х,

t) = f (\t — ^ - \■'.

Найти отраженную

и

преломленную волны. Всегда ли они существуют?

Исследовать реше­

ние при

Е2~* 0 и при £ 2—*со.

 

 

 

 

 

 

линии

без

искаже­

ний

7.

К концу

х — 0 полубесконечного провода

(GL — CR)

 

была

приложена

 

постоянная

э.

д. с.

Е0 в течение

достаточно длительного промежутка времени, так

что в проводе уста­

новилось

стационарное

распределение

напряжения

и

силы

тока.

В момент времени

^ =

0

конец

провода

был заземлен

через

сосредо­

точенное сопротивление R0.

Найти

напряжение и ток в

проводе при

t >

0.

Концы струны

х = 0

и

х = 1 закреплены жестко. Начальное

 

8.

отклонение н (х,

0) =

И s

i JTn

(

0 s=cxsc/),

а

начальная

скорость

равна

нулю.

Построить

профиль

струны

для

моментов

времени

‘> - L “

 

задачу

о

колебании

бесконечной

струны

под

дейст­

 

9.

Решить

вием сосредоточенной

поперечной

силы

F (t)

(для

^ > 0 ), если

точка

приложения силы скользит вдоль струны с постоянной скоростью v0 из положения х = 0, причем v„ < а.

J0.

Конец х = 0 полубесконечного провода

с

пренебрежимо ма­

лыми сопротивлением и утечкой на

единицу длины в момент

вре­

мени ^ = 0 присоединяется

к

источнику э. д. с.

E = f(t).

Найти

на­

пряжение и (х, t) в этом

проводе.

 

 

 

 

 

11.

Конденсатор емкости С0, заряженный до потенциала V, раз­

ряжается в момент времени t — 0 на бесконечный

провод с парамет­

рами (L, С). Найти ток в проводе.

 

 

создано в момент

12.

В газе, находящемся

в состоянии покоя,

времени

t = 0 уплотнение S0,

локализованное в

объеме,

ограничен­

ном заданной поверхностью о. Найти уплотнение S(M , t)

как функ­

цию площади от части поверхности

сферы S ^ ,

которая

заключена

внутри

о.

 

 

с постоянными коэффициентами

13.

Какие линейные уравнения

вида

ап ихх + 2<?i2uxi +

а22Uj{

bxux -J- Ь2и/~\-си = 0

 

 

 

 

 

имеют решения в виде произвольных бегущих волн f( x — at), где

а— const? (Нет дисперсии.)

14.Какие уравнения задачи 13 имеют решения в виде произ вольных бегущих волн с затуханием е~^ f (х—at)?.

Смотрите также файлы