Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

ванном значении 1Ss 0

,

для уравнения гиперболического

типа представляется в виде ряда (7 ), где

Сп = Ш пГ ьSр(Р) ф{Р) Фп {Р) dXp'

Dn = V f l m

■»'

\ 9 ^ ф1 (Р) Ф"

dx?>

V К li ф л

'I2

£

D

Используя

известную

формулу

векторного анализа

р div (£) =

div (рЕ) — (Е, Хр)

для

р = Фх,

E = k'7Ф2,

скалярное

произведение

(Фь

L [Ф2])

можно

записать

в виде

(Фи ^ [ Ф 2]) =

^ Ф ^ [ Ф 2] Л

=

D

= J div (£ФХУФ2) d x - \ k

(?ФЬ УФа) dx -

^ ?ФХФ2 dr.

D

D

D

Первый интеграл правой

части

равен jj Мф

da,

поэтому

s

(Фи 1 [ ф 2] ) =

= - 5 А (УФ,, УФ2) dx - jj 7Ф,Ф2 dx А - ^ к Ф ^ й а .

(8)

D

Ь

S

Эту формулу часто называют первой формулой Грина.

Аналогично

получим

(Ф2, Z, [Ф,]) =

= — jj k (УФ2,

УФ,) dx - J

qO&t dx +

§ кФ2^

da.

(8 A

D

D

S

задачей,

то

k® i W d a = \ k<b* W da==0’

так

S

s

дФ,

дФ.,

или

соответственно

=

Фх ]s=

Фя fs= 0 ,

-г-~

дп

S

из

(8)

дп s

В этих

случаях

и (8j) справедливость

равенства

(Ф1( L [Ф./|)

(tf>2,

L [ФД) следует непосредственно.

В слу­

чае третьей краевой задачи из краевых

условий находим

0ФХ =

—

ф

н

= — Уг ф„. Подставляя эти зна-

дп

(8)

и (8 Д,

чения производных по нормали в формулы

получаем требуемое

равенство.

З а м е ч а н и е .

Из формулы (8 ) (или (8Д) следует, что

для функций Ф из класса А (Ф,

L [Ф])

0.

и (Л1, t) —

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

2.

Пусть

искомое решение.

Поскольку оно

при всяком t>

0 при­

надлежит классу

А,

по теореме Стеклова его можно пред­

ставить

в виде ряда

Фурье

и(М,

0

=

2 ЧГ„(0Фп(М),

(9)

где

П= 1

^

{i) = р е т

Sр {Р) и{Р’ ^

Ф» ^

dxг

•

( 10)

Используя уравнение (5) для Фп(М), последнюю фор­

мулу можно преобразовать к виду

yt

И) =

— ___ { uL ГФ 1 dx —

К

II Фп II2

“

К )

К

II Ф п IP

J

1 ni й

~

D

^ =

1п |1Ф„ ip

Ц (}ф пии dx

D

|^или

lFra (0 = упд-фя|.а

\ рФпщс1х\ , откуда, сравнивая по­

лученный результат с формулой

(10), имеем

y n( t) ^ ~ V '/ k n, т. е.

? ; - ) - Я Л з О

(или

¥ ' + Я Л ^ 0).

Таким

образом,

функция

xVn(t) является

решением

уравнения

¥" +

= 0 и,

следовательно, может

быть

записана

в

виде

x¥n(t) = Cnc o sy k nt + Dns m V K t

(или 4rn(t) = Cne

V ) ,

где

С„

'ГДО),

Dn VK==xV'n(0).

Используя формулу (10),

находим

Ся = ^ я (0)

1

5 Р (Р)и(Р, 0)Фя (Р)йх =

||ФЯ|Р b

= щ ^ [ р ( Р ) Ч > ( Р ) Ф п(Р)Лт,

Ч'п(0)

D

D n

—г=-------- ^ р (Р) cpi (Р) Ф„ (Р) dr,

V K

ч. т. д.

УЬпИФпР

у

(1) —(3),

Предположив существование решения задачи

мы пришли

к заключению, что

оно представляется

ря­

дом (7), следовательно, оно единственно*).

Для уравнения гиперболического типа функции ип(М, t)

можно записать

в виде

ип = Вп sin ( У К t +

0„) Фп (М),

где

Вп = УСп -j-Dn,

б„ = arctg ?п- .

и п

ющие различным собственным значениям Х± и Х2 (Ях Ф Х2),

ортогональны в области D

с весом р(М), т.

е.

\р(Р)Ф1 (Р)Ф2(Р)йт= 0.

D

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По определению

собственных

функций и собственных значений имеем тождества

/.[ФД +

^ р Ф ^ О ,

1[Ф 2] + Х2рФа- 0 .

Умножим первое

из них на Ф2, второе на Фх и резуль­

таты вычтем один из другого. Интегрируя тождество

Ф2Ь [ФД - ФгЬ [Ф2] = (Х2- Лх) рфхфа