Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Они ортогональны на отрезке {0, /] с весом р — 1. Обратимся к урав­ нению (21). Его общее решение при Х ~ Х а имеет вид

^A t)= cnf un'nt.

Тогда

w (х, 0 = 2 Спе ~ а ^п*Фп (х).

П=1

Коэффициенты Сп находим из начального условия, пользуясь орто­ гональностью собственных функций Фл (х):

решения путем выделения стационарного режима и последующего нахождения отклонения от него применяется к широкому классу краевых задач со стационарными (т. е. не зависящими от времени) неоднородностями, содержащимися в уравнении или в краевых усло­ виях (или и в уравнении и в краевых условиях).

свободном конце имеется сосредоточенная масса /п0 и начальное воз­

Краевое условие на правом конце запишется в виде

ТФ' (0 ¥ (0 — т0Ф (0 Ч " (0 = 0.

Заменяя в нем Ч " (t) из уравнения (23) через Чг (0 и деля обе части равенства на У (0 , получим

где h = a2m0/T.

98

Решения уравнения (24), удовлетворяющие условию (25), имеют

вид Ф(х) —sin V'Kx. Из условия (26) находим уравнение для опре­ деления собственных значений Хп > 0:

Им соответствуют собственные функции

Ф,г М = sin у - л:.

Нетрудно непосредственно убедиться, что они не ортогональны друг другу с весом р (х) == 1. Этот факт не противоречит общей тео­

реме об ортогональности собственных функций, поскольку краевое условие (26) не является обычным краевым условием третьего типа: оно содержит явно (а не через собственную функцию) собственное значение %. Чтобы понять, какая ортогональность будет иметь место, заметим, что уравнение для и (х, t) можно записать в следующем

виде:

Тихх = \р0 + т 0Ь (х — 1)} ин.

Следовательно, уравнение для собственных функций можно написать в виде

Поэтому собственные функции Фл (х) будут ортогональны с весом

Легко проверить это и непосредственными вычислениями. Далее действуем по обычной схеме. Находим ¥„ (t), тогда

о

2.Вернемся к рассмотрению свойств собственных зна­

Свойство 6 (экстремальное свойство) выражает

некоторой функции Ф из класса А , то Ф есть собственная функция, а у — отвечающее ей собственное значение задачи

(5)—(6). При этом у будет, очевидно, наименьшим соб­ ственным значением.

= — 2 5 / {L [ф ]+ ррф} dr.

D

Мы воспользовались здесь самосопряженностью опера­ тора L на функциях класса А.

Таким образом, для произвольной функции / из А имеет

$ / [L [Ф] + ЦрФ} dr = 0.

Ъ

Отсюда следует *), что в точках непрерывности функ­ ции Т[ф] выполняется тождество

L [ф]-|- ррФ = 0,

Ч. т. д.

) По основной лемме вариационного исчисления.

100

Если минимум того же функционала искать в классе функций Ак, принадлежащих А и ортогональных с весом р в области D собственным функциям Фг, Ф2, Ф/г- 1 , то этот минимум будет k-м по величине собственным значе­ нием Хк, а функция, на которой он достигается, — соответ­ ствующей ему собственной функцией Ф/;. Доказательство этого предложения проводится аналогично.

З а м е ч а н и е . Свойства 1—6 справедливы для собствен­ ных значений и собственных функций любого линейного эрмитова оператора. Доказательства их остаются преж­ ними, так как при их проведении мы пользовались лишь свойством самосопряженности оператора L. В дальнейшем будем предполагать, что функция k (М) непрерывна вместе

с частными производными первого порядка в D.

где Ri и R-2—функционалы R, соответствующие функ­ циям kx(M) и k2 (M). Следовательно,

ч. т. д.

101