Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

D

Константу

Вг находим

из условия ^ рФхФ2 dx =

0, т. е. из

уравнения

о

$ рФ? dx-\-B1 ^ рФхФз dx = 0.

Если Ф3

ортогональна

функциям Фх и Ф2, то

полагаем

ф 3 = ф 3,

в противном случае полагаем Ф3 = Фх-f Д32Ф2+

-j- В33Ф3.

Константы

В32 и В33

находим из

условий

$ рФхФ3 dx = 0 и

j рФ2Ф3 dx — 0,

т.

е. из уравнений

D

о

$ рФ; dx +

В32 ^ РФ1Ф2 dx +

В33 $ рФхФ3 dx = 0,

D

D

D

J РФ1Ф2 di + В32 ^ рФ| dx + В33 ^ рФ2Ф3 dx = 0 *)

D

D

D

И T. Д.

Продолжая этот процесс ортогонализации, мы по­

строим г

собственных

функций Фх, Ф2, .... Фг,

отвечаю­

щих тому же собственному значению К и уже

попарно

добность), мы можем утверждать,

что любые две линейно

независимые собственные функции

краевой задачи (5)—-(6)

ортогональны в области D с весом р.

С в о й с т в о 4.

Все собственные значения задачи (5)—(6)

вещественны.

предположим,

что Я = а + г'Р (Р Ф 0)

Действительно,

является собственным значением,

а Ф = Фх -f /Ф2 — отве­

Следовательно,

L [ФД -f арФх -

РрФ, = 0,

i {L [Ф2] + арФ2 + ррФх} = 0.

Вычитая почленно эти тождества, получим

L [Фа —г‘Ф2] + (а — г'Р) р (Фг — (Ф2) = 0.

Таким образом,

к = а — /(5

и Ф = — 1Ф2 являются собст­

5 Р (ф 1+ (Фг) (ф 1— (Фг) dr = 0 , или

$ р (ф? + Фо) dr = 0,

D

О

Для

доказательства

умножаем

тождество L [Ф„] +

+ Х„рФ„ =

0 на Фя и результат интегрируем по области D.

Получим

S ФпЬ [ФД dr +

Хпj

рФя dr = 0,

откуда

,

-

(Фя.

L [Фя])

II Фя!!2

Поскольку — (Фя, В [Фл]) !=э= 0 (см. стр.

90), то \ п^г0.

З а м е ч а н и е .

Для

первой и третьей

краевых задач

все собственные значения

п о л о ж и т е л ь н ы .

Для второй

краевой

задачи с

q(M) = 0 Я = 0

является

собственным

значением,

а Ф =

1— отвечающей ему собственной функ­

цией.

П р и м е р

1.

Пусть требуется найти решение задачи *)

l^‘4xx— U(i,

(11)

и (х, 0) = <р (дс),

щ(х, 0) = <р1 Д);

и (0, t) — u{l,

t) = 0,

(I ix)

непрерывное в

замкнутой области В == {0

х sc l\ t ^ 0 } .

*) Напомним,

что эту задачу мы решили в гл. III

методом ха­

рактеристик. Тогда мы продолжали начальные значения ф(х) и

(х)

нечетно относительно точки х = 0 на отрезок (— 1, 0) и

затем перио­

дически на всю

прямую. Затем к продолженным значениям приме­

Заметим,

что из

условия

непрерывности решения в замкнутой

области

В и

краевых

условий

следует,

что начальные значения ре­

шения

ф(х)

должны

удовлетворять

соотношениям q> (0) = (р (/) —О

задачи.

Подставляя

Ф (х) Ч* (/)

в уравнение, получим

Ф "

^

__ __

ф

— агцг ~

Следовательно, Чг'' +

а2А.Чг =

0

и

Ф " +

ХФ =

0,

Ф (0) = Ф (/) =

0.

(12)

Это — первая краевая

задача. Все ее собственные значения положи­

тельны.

Поэтому общее решение задачи (12) можно записать

в виде

Ф (х) =

A cos У X х + В sin УХх.

Из

краевого условия

на

левом конце находим Л = 0. Следова­

тельно,

Ф (х) — В sin \

Хх

и В ф 0. Из краевого

условия

на правом

конце

находим В sin ( Х1 =

0.

Следовательно,

sin|^X/ =

0,

откуда

У Х1 = пл и

(п = 1, 2, 3, ...).

Хп = п2л 2/12

_ , .

=

.п л

х.

ции суть Ф„ (X)

sin

.

t) =

V

'

a m ,

, „

.

алтп ДЛ . лпп

и(х,

£ \

Сп COS —т~ Н - D n sm — t ) sln ~т x>

п — 1

Т Т ШТ

где

1

C„ = -

ф (б) sm - J

1 dg,

ибо

0

l

. „

лп

1

II ф л 1!2= {

sill2

=

П р и м е р

2.

Пусть требуется

решить задачу

aiuxx = U(,

и (х,

0) = ср(х),

их (0 ,

t) = их (I, t ) ~ 0 .

Как и в предыдущем примере,

находим

Ф " +

Ш = 0,

ф '(0) =

Ф '(0 = 0,

(13)

V' + a W ^ 0.

Здесь

мы

имеем

дело со второй краевой задачей

и q = 0. Следова­

тельно,

Я = 0 будет собственным значением, а Ф (х) =

1—отвечающей

ему собственной функцией.

значения

и собственные

функции нахо­

Остальные

собственные

дим, как и в примере 1:

ф (х) = A cos \' Х х + В sin )

Кх.

Из условия Ф'(0) = 0 находим В = 0.

Следовательно,

А Ф 0 и Ф(х) =

= Л cos J

kx.

Из

условия

Ф '(/) = 0

находим sin

’ X / = 0, следова­

тельно,

V

Х1 =

лл

и },п= л 2п2,12 (n — 1, 2, 3,

...).

Таким образом,

п л3

4л3

л2л2

,

значения,

0,

, ~j2~ ,

... — собственные

я

2ч

чп

... — собственные функции.

1, cos у

х, cos-^-x, ...

, cos -j- х,

¥ „ (0 = C„e_a2V

(л = 0, 1, 2, ...).

Искомым решением задачи будет, согласно теореме 2 (§ 2),

функция

и (х, 0 =

2 . С*е

cos Т X,

где

л = 0

I

i

Со = у § <p(s)ds.

=

y

j <p(5)cos^gd5

( л = 1,

2, 3, ...),

а

I

о

ЦФо1Р = /,

1|Ф Л 2 =

§cos2™ i d |

= ^-

( л = 1, 2,

...).

о

П р и м е р 3.

Решить задачу о температуре однородного стержня

Математическая

постановка задачи:

a2uxx= ut,

(14)

ux {0,

t) — hx [u (0,

0 — «i]= p ,

(15)

ux (l,

t)+ h2[u(l,

t)— u2]= 0,

(16)

u(x,

0) = <p (x).

(17)

Ищем решение

в виде и{х,

t) — v(x)+w(x, t), где

v (*) —реше­

ние уравнения (14), удовлетворяющее краевым условиям

(15) и (16),

т. е.

i>"= 0,

(Hi)

»' ( ° ) - Л [о(0) - и г]= 0,

(15i)

v’ (l)~\-h2\v (l) — и2] — 0.

(16i)

О-Щ'д-л-—■ *

(1 4i)

к.'д. (О,

О—А1Ш(0,

0 = 0 ,

(15.г)

CC'.V(/,

0 + Л2-х'(/,

0 =

0,

(16,)

К'(лг, 0) =

ф! (дг) = ф (дг) —

о(лг).

(172)

Функция с (.v)

описывает стационарный

режим, a ел (х,

0 —отклоне­

ние от него.

Решаем сначала задачу для о(лг). Общее решение уравнения (14Д

имеет вид

v(x) = ClX+ Ct .

Постоянные Сх

и С2 определяем

из краевых условий (150, (16х):

Q —Ai (0*2

Ui) — 0,

Сх -j- Л.2 [Су + С2 —u2]=

О,

откуда

р _

А2А1 (и2 —Hi)

с2—«1 + V

1 — Л1+Л,+ЛхА2/ ’

Ф " +ХФ =

0,

(18)

Ф '(0 )-А хФ (0) =

0,

(19)

Ф' ( 0 + а2ф (/)= о,

(20)

4f' + fl2XvF =

0.

(21)

D

_

_

\

(22)

Ф (х) — г~ ( \

X cos \ Х

х +

Лх sin [ X х).

ni

Множитель

Bjhx отнесем

за

счет функции 'У (t).

Подставляя

функ­

цию (22) в соотношение

(20),

получим

уравнение

для определения

собственных

значений:

1

/

/ w 3\

,

i f a + h d V 1

)i ) ’

где jл — V x i . Пусть (ix,

р2,

.... )i„,

... —положительные корни этого

уравнения. Тогда собственными значениями будут

числа

=

u,Lj//2.

Собственные функции

будут иметь вид

Ф„ (х) =

cos

х +

Ах sin -у- x.

4 В. Я. Арсенин

97