Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Из свойств 7 н 8 следует, что в одномерном случае собственные значения кп с ростом п растут, как я2. Дей­ ствительно, наряду с уравнением

значения (или sup и inf).

Для определенности рассмотрим первую краевую за­

Поскольку уравнения (28) и (29) имеют постоянные коэф­

Отсюда и следует справедливость высказанного утверж­ дения.

С в о й с т в о 9. С уменьшением основной области D собственные значения первой краевой задачи не убывают,

т. е. если D 'czD ”, то

102

цией класса А, то получим новый класс функций А ', содержащийся в А". Для всякой функции Ф е Ф имеем

R" [Ф, Ф] = — ^ ФЕ [Ф] dx = — ^ ФЕ [Ф] dx = R' [Ф, Ф]

D " D-

И

^ рФ2 dx — ^ рФ2 dx,

D " D'

ибо эта функция тождественно равно нулю в D" — D'. Поэтому

вать простым, если любые две собственные функции, соответствующие этому Я, линейно зависимы.

С в о й с т в о 10. Все собственные значения одномерной краевой задачи (5)—(6) простые.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Фх ( а -) и Ф2 ( х ) — собствен­ ные функции, отвечающие одному и тому же собственному значению Я. Тогда обе эти функции являются решениями одного и того же уравнения

£[ А Ф ' ] - д Ф + яРФ = о

иудовлетворяют одним и тем же краевым условиям на левом конце:

У1Ф1 (0) - у2Фх (0) = 0, угФ.) (0) - у2Ф2 (0) = 0.

Эти равенства можно рассматривать как систему линейных уравнений для ух и у2. Поскольку + то опреде­ литель этой системы равен нулю. Но этот определитель есть определитель Вронского W (.г) для решений Фг (а-) и Ф3 (а-)

103

в точке х — 0. Известно*), что определитель Вронского, составленный из решений одного и того же линейного однородного дифференциального уравнения, либо тожде­ ственно равен нулю, либо нигде не обращается в нуль. Так как в нашем случае Ц7(0) = 0, то W (х) = 0. Отсюда и следует линейная зависимость решений Фх (х) и Ф2 (х). Заметим, что для многомерных краевых задач это утвер­ ждение неверно.

П р и м е р 5. Рассмотрим задачу о колебаниях квадратной мемб­ раны с закрепленными краями под действием начального возбужде­ ния. Стороны квадрата направлены по осям координат.

Математическая постановка задачи:

(31), удовлетворяющие лишь краевым условиям (32), (33). Подставляя такую функцию в уравнение (31) и в соотношения (32), (33) и раз­ деляя переменные, получим следующую задачу Штурма — Лиувилля:

Подставляя такую функцию в уравнение (35) и разделяя переменные, получим

Таким образом, мы имеем первые краевые задачи (38),'(40) и (39), (41).

*) См. С т е п а н о в В. В., Курс дифференциальных уравнений, гл. V, Физматгиз, 1959.

104

Собственные значения р, и К — р должны быть положительными (по свойству 5). Как и в примере 1, -находим

Собственные значения ’кп,)1 и л, очевидно, совпадают, а отвечаю­ щие им собственные функции

Таким образом, в этой задаче собственные значения не являются простыми.

Решение задачи (31)—(34) представляется рядом

о0

4.Метод Фурье применяется и для решения краевых

задач ( 1) — (3), в которых коэффициент k ( M ) имеет точки

105

разрыва в области D. При определенных условиях, кото­ рые будут указаны ниже, остаются справедливыми все свойства собственных функций и собственных значений задач вида (5)—(6) с разрывным коэффициентом k(M). При доказательстве свойств с. з. и с. ф. мы опирались на первую формулу Грина, которая получается непосред­ ственно из формулы векторного анализа

div (р • Е) = р div Е-\- (Vp, Е)

и формулы Остроградского

^ div (k ТФ) d x = ^ k d^ do.

d s

Если для задач вида (5)--(6) с разрывным коэффициен­ том k(M) мы укажем условия, при которых справедлива формула Остроградского, то при этих условиях верна будет первая формула Грина и, следовательно, все рас­ смотренные нами свойства собственных функций и соб­ ственных значений. При этом в доказательстве этих свойств ничего не изменится.

Пусть £ —множество точек области D, ограниченной поверхностью S, в которых функция k (М), входящая в оператор div(&VO), разрывна. Будем полагать, что множество % представляет собой совокупность точек конеч­ ного числа поверхностей (линий в двумерном случае) Sh принадлежащих области D, разбивающих область D на конечное число попарно не пересекающихся подобластей Dit ограниченных поверхностями S; и таких, что

D = D1 + Dt + . . . + D n.

При этом в каждой из подобластей Dt коэффициент k (М) непрерывен вместе с частными производными первого по­

Таким образом, каждой тройке допустимых коэффициентов отвечает некоторое разбиение области D на конечное число подобластей гладкости Dt. В частности, если коэффициент k (М) непрерывен вместе с частными производными пер­

вого порядка в D (и q(M), р (М) непрерывны в D), то это «разбиение» состоит из одной области D.

106