Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 155

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Будем говорить, что при заданном допустимом коэффи­ циенте k {М) и отвечающем ему разбиении области D на подобласти гладкости Dt функция Ф(М) удовлетворяет

условию Остроградского в области D, если

1)Ф (М) непрерывна в D ;

2)в каждой подобласти гладкости D,- функция Ф (М) имеет частные производные первого и второго порядков

по координатам точки М, непрерывные в Д ;

3) на общих

границах

(5i;- cr D) прилегающих друг

к другу подобластей гладкости Д- и

Д выполняются

соотношения

, дФ

 

дФ

 

 

 

 

 

il дп

 

С >

 

 

s.f — ki Jn bi]

 

где производная

берется

по

нормали к

поверхности 5,-у,

ki и kj — значения k {М) в областях Д и Df соответственно.

Для функции Ф (Л7),

удовлетворяющей

при заданном

допустимом коэффициенте k (М)

условию

Остроградского

в области D, очевидно,

справедлива формула Остроград-

ского

с

 

с

 

 

J div (£ТФ)Фг =

Y ^ d a .

 

 

b

 

s

 

Обозначим через А класс функций Ф (уИ), которые удов­ летворяют условию Остроградского в области D и одно­ родным краевым условиям

+

( 6)

на границе 5.

Очевидно, для каждой области D, каждого допусти­ мого коэффициента k (М) и заданного краевого условия вида (6) существует свой класс А.

Для задач

вида

(5)

(6) с допустимыми коэффициен­

тами k(M), q(M), р(М)

справедливы следующие теоремы.

Т е о р е м а

1. Существует бесконечное множество соб­

ственных значений

{'Кп\,

п -- 1, 2, ..., и отвечающих им

собственных функций {Ф„(Мф краевой задачи (5)—(6),

принадлежащих классу А.

_

Т е о р е м а

2.

Непрерывное в замкнутой области В —

= { М е Д OSiO}

решение

задачи (1) —(3), при всяком

фиксированном

значении

г 0 принадлежащее классу А,

представляется рядом (7) (соответственно (7j)).

Соответствующие изменения в формулировках ряда дру­ гих утверждений очевидны.

107

§ 4. Некоторые свойства совокупности собственных функций

Здесь мы рассмотрим некоторые свойства совокупности собственных функций |Ф„).

О п р е д е л е н и е . Система попарно ортогональных в об­

ласти (с весом р) функций

\Фп} называется полной в D,

если для всякой функции f(M),

интегрируемой с квадра­

том в D, выполняется

равенство

 

 

 

 

СО

 

 

$p/2dT =

V Ck |Ф *р,

(42)

D

 

k = l

 

 

где Ск— коэффициенты

Фурье

функции f(M)

по функ­

циям системы {ФД.

Д о с т а т о ч н ы й п р и з н а к п о л н о т ы с и с т е м ы

{ФД. Если для всякой непрерывной в D функции F (М) и для любого г > 0 существует линейная комбинация Sn —

=

+ . . . + апФп, для которой

р (F — Sn)2 dr < е, то

система {ФД полна.

D

 

 

Мы приведем лишь схему доказательства этого при­

знака.

Зафиксируем е > 0 .

Для

всякой функции f (М)

с интегрируемым квадратом

в D найдется такая непре­

рывная

в D функция <р (М), что

$p(f —ф)аДс<е/4*).

 

 

 

D

Для функции ф(М) и для выбранного е по условию най­

дется такая

линейная комбинация

S;i =

.. +

а лФ„,

для которой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 р (ф -

5«)а

.

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

Оценим интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$Рif — 2

СкФ*) dr,

 

 

 

 

 

D

'

* =

1

/

 

 

*)

Это утверждение

требует

доказательства,

на котором

мы не

будем останавливаться. Заметим лишь,

что для одномерного и дву­

мерного

случаев такая

функция

ф (М )

строится

просто (см.

Т о л ­

с т о в

Г.

П.,

Ряды Фурье, Фнзматгиз,

1960).

 

 

108

в котором

У]

СкФ* — частичная

сумма ряда Фурье функ-

ции f(M).

k = \

 

 

 

Очевидно,

 

 

S р(/ — Z

 

dx =

 

 

* = i

 

 

 

 

-

\pf2 d x - 2 2 Ск \pf<l\dx +

£ С |;] Ф* I2.

 

 

k = 1

D

k= 1

Мы при этом воспользовались ортогональностью функ­

ций Ф*.

Поскольку

^ р/Ф*

 

== С* !|

 

||2,

то

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

$Р ( / - £

С*Ф»; rfx=

\ Pf * d T - £

С*|!Ф*|Г.

 

£>

V

fc= 1

 

■

 

D

 

k —

1

 

Известно,

 

что квадратичное отклонение б;; = $р(/ — Sn)2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

П

будет минимальным,

если в качестве Sn взять

V СкФк *).

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

* = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О--

\ p p d x - У]

С'1|Ф *f

=

\p{f — ^

С*Ф*]

dx<_;

 

D

 

 

k = l

 

 

 

D

\

k =--1

 

 

 

 

 

 

$ Р (/ —

S n)2 dx-sd

$ P (/ - Ф +

Ф -

5 „ ) 2 dx

 

 

 

D

 

 

 

D

 

 

 

 

 

^ 2

Ц

р ( / —

ф ) 2 fifx - ь 2

^ p ( c p

—

S n) 2 d

x < 2 -

АЬ +

2 ® = е .

 

D

 

 

 

 

£)

 

 

 

 

 

 

 

Мы при этом воспользовались хорошо

известным нера­

венством

 

 

(Л + £)2^ 2 Л 2 + 2В2.

 

 

Таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О -У $ р/2 dx - 2] С| [| Ф* f < е,

 

 

 

 

 

 

D

 

* = 1

 

 

 

 

откуда

и следует

условие

полноты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ р/2 dx =

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

С| IIФ* |2.

 

 

 

 

 

 

 

D

 

k = 1

 

 

 

 

*) См.

Ф и х т е н г о л ь ц

Г.

М., Основы математического ана­

лиза,

т.

II,

изд. 5-е, гл.

XXVIII,

«Наука»,

1968.

 

109

Ряды Фурье по полным системам функций {Ф„} обла­ дают следующим замечательным свойством:

Т е о р е м а 1. Если система функций {Ф„} полна

в области D, то ряд Фурье для всякой функции с инте­ грируемым квадратом в D можно почленно интегрировать независимо от того, сходится он или расходится, т. е. для любой области D' a D справедливо равенство

СО

 

 

 

\f(M)dx = £

Сп $

Фn(M)dT.

 

 

 

 

 

D ’

/1=1

D'

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Оценим

разность

6 n — ^ f d x —

 

 

 

 

 

 

 

 

D’

— i ]

С* $ ф* dr.

 

 

 

 

 

1

 

D'

 

 

 

 

 

 

is,

$

\ [ -

Z Ckd)k\dx

 

 

 

 

 

D'

'

6 = 1

/

 

 

 

 

 

 

 

T

f - £С *Ф *

f -

Z

dx.

 

 

 

D ’

k= 1

 

 

A= 1

 

Для оценки последнего интеграла воспользуемся неравен­

ством

Коши — Буняковского:

 

 

 

 

 

 

 

/ - X С , Ф* ch = jj V 9 t - 2 c kф *

dx

^

 

 

П Т " 5

 

 

D

k=i

 

D

 

 

 

k= i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

1

 

"

 

\2

 

/

 

 

 

 

«

у

 

 

 

С*ф*

dx Л /

 

 

 

 

 

\

 

k =

 

1

 

'

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

’

th

 

 

 

Ч

/

\ p/2 л

-

У

c i ji

а д |j

 

 

 

D

о

 

 

 

 

 

 

D

 

6=1

 

 

Последний

интеграл ограничен,

а

разность

 

 

 

 

 

 

S р/2 rfT -

2

W

* l l a

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

*= i

 

 

 

 

 

 

при П-У со стремится

к

нулю

по условию полноты. Сле­

довательно, 8,г->0

при

п —у со,

ч.

т.

д.

функций краевой

Т е о р е м а 2.

Система

собственных

задачи (5)—(6) полна.

НО

Смотрите также файлы