Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 159
Скачиваний: 0
З а м е ч а н и е |
1. Если |
краевые |
условия |
имеют вид |
||
а ,М 0, / ) - М ( 0 , |
() = |
Pi(0, |
«аМЛ 0 + |
О |
!Ч('>, |
|
то в качестве функции v1 (x, t) (удовлетворяющей |
этим |
|||||
краевым условиям) можно взять функцию |
|
|
||||
щ (х, |
/) - D xy 2 (/) - С (х - |
If iu (/), |
|
|
||
где С - 1/(2o^ + fM2). |
D ~= 1/(2а2/ + |
(У2). |
|
|
||
З а м е ч а н и е |
2. Иногда легко найти функцию vx{x, t), |
|||||
удовлетворяющую не только заданным неоднородным крае вым условиям, но также и заданному уравнению.
П р и м е р 7. |
Требуется решить задачу |
(54) |
|
Ч2Щ-л" = |
|
|
и (х, 0) = ф! (х), щ (х, 0) = ф2 (х); |
(55) |
и{0, |
0 = 0. u(l, t) = A s m a t ( ^ l ^ n j i ' j |
(56) |
Среди функций вида F (х) sin Ш нетрудно найти решение урав нения (54) i\(x, /), удовлетворяющее краевым условиям (56). Действи тельно, подставляя такую функцию в уравнение (54) и деля обе части равенства на sin со(, получим уравнение для F (х)\
|
a2F" -р со2/7 = |
0. |
(57) |
|||
Из краевых условий (56) находим, что |
|
|
||||
F (0) = |
0, |
F(l) = A. |
(58) |
|||
Решение задачи (57) — (58), |
очевидно, |
имеет вид |
|
|||
|
|
|
. |
со |
|
|
F (х) = |
sin -а- X |
|
||||
А |
|
|
|
|||
|
|
|
sm соI |
|
||
Следовательно, |
|
|
|
а |
|
|
|
|
. |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
sin — X |
|
||
V, (х, |
t) = |
А --------- sin соt. |
|
|||
|
|
|
. |
со |
, |
|
|
|
|
sm |
а |
I |
|
Решение задачи (54) —(56) будем искать в виде
и (х, t) = vx (x, t)-\-w(x, t),
где w (х, t) является решением следующей задачи:
аъ1£)хх = wit,
щ(0, 0 = 0, |
со (/, 0 = 0; |
|
sm -со х |
w (х, 0) = фх (х), wt (х, 0) = |
фг (х) — А со---------= q2 (х). |
|
sin а I |
Это однородная краевая задача, которая решается методом раз деления переменных.
116
§ 6. Применение метода Фурье к решению краевых задач для уравнений эллиптического типа
Метод Фурье можно применять также и при решении краевых задач для уравнений эллиптического типа. Мы проиллюстрируем это в настоящем параграфе на двух примерах. Во второй части книги приводятся другие при меры, требующие использования специальных функций.
П р и м е р 8. Найти функцию и (г, ср), гармоническую в круге DR
радиуса R, непрерывную в замкнутой области |
и принимающую |
на границе этой области (r = R) заданные значения f (ср), т. е.
|
Аи = 0, |
|
(59) |
|
u(R, <р)= /(ф). |
|
(60) |
В силу однозначности |
искомого решения |
и (г, ф) оно должно |
|
быть периодическим по ф с периодом 2я, |
т. е. |
|
|
и (г, |
ф + 2я ) ^ м ( г , |
ф). |
(61) |
Из непрерывности решения в замкнутой области D^ следует его
ограниченность в D
Среди функций вида Ф (г) ¥ (ф) ищем ограниченные в 6% и периодические по ф (с периодом 2я) решения уравнения (59). Запи сывая лапласиан в полярных координатах
|
|
|
~ |
(г“л) + "2 «(fcp = 0 |
(59t) |
||
и разделяя переменные, |
получим |
|
|
||||
|
|
|
|
г ~ ( г Ф ’) - Х Ф = 0, |
(62) |
||
|
|
|
|
¥ " + Л¥ = 0. |
|
(63) |
|
Из |
условия |
(61) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ ( ф + |
2л)=е ¥ ( ф). |
(64) |
|
При |
Д ,<0 |
уравнение (63) |
не имеет |
решений, удовлетворяющих |
|||
условию (64). Следовательно, Х ^ О . Для |
^ > 0 |
находим |
|||||
|
|
¥ |
(ф) = A sin УХ ф + В cos УХ ср. |
||||
Из условия |
(64) |
находим, |
что (,'Х 2я = 2яп. |
Отсюда Хп — п2, где |
|||
п — произвольное целое |
неотрицательное число. |
Таким образом, соб |
|||||
ственные значения задачи (63)—(64) суть |
|
|
|||||
|
|
|
Хп = п2 |
(л= 0,1,2,...), |
|
||
а им соответствующие собственные функции суть
1, sin ф, cos ф....... sin «ф, cos «ф, ...
117
При ^,= 0 общим решением уравнения (63) будет
^(сГ) = Л0ф + й0.
Лишь при Л0 = 0 оно будет удовлетворять условию (64). Таким образом, А —0 соответствует собственная функция Ч|'п( ф ) = 1.
Обратимся к уравнению (62). При Х — п2 имеем
/•2ф"_|_гф '_ П2ф_0.
Общее решение этого уравнения имеет вид |
|
||
Ф» (')=<:„/■» + -£*. |
(я > 0), |
(65) |
|
Фо(0 = С0 + |
П0 1п |
(л = 0). |
(66) |
В силу ограниченности |
искомого |
решения в формулах |
(65) и |
(66) надо положить £)„ = 0 (я = 0, 1,...).
Таким образом, ограниченными решениями уравнения (59^ вида Ф (г) W (ф), удовлетворяющими условию (61), будут функции
un = rn (Ап cos яф + |
й„ sin яф). |
|
|
Решение задачи (59)—(61) представится в виде ряда |
|
||
СО |
|
|
|
и (г, ф) = 2 ] |
гп (Лп cos Яф+ Б,, sin Яф). |
(67) |
|
п=о |
|
|
|
Коэффициенты Ап и Вп находим из условия (60): |
|
||
СО |
|
|
|
/ (ф) — 2 |
(Л« C0S + |
Вп sin ПФ) Rn> |
(68) |
гс —0 |
|
|
|
пользуясь ортогональностью собственных функций на отрезке [0, 2л]
с весом р = 1: |
2л |
|
|
|
2Л |
||
|
|
|
|
||||
Aq= |
1 |
f |
|
|
|
1 |
/ (t) cos пГ dl, |
2л |
\ f © |
^ |
|
л п = лRn ^ |
|||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
Вп = |
nRn |
\ |
/ (С)sin |
(я = |
1. 2....). |
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е |
1. |
Ряд |
(67) с коэффициентами, вычисляемыми |
||||
по формулам |
(69), |
нетрудно |
просуммировать. Однако мы не будем |
||||
здесь этого делать, так как в гл. VII задача (59)—(61) будет решена |
|||||||
другим методом, позволяющим |
получить результат в конечном виде. |
||||||
З а м е ч а н и е |
2. |
Решение |
краевой задачи (59)—(61) для внеш |
||||
ности круга представляется |
рядом |
|
|||||
|
|
|
|
со |
1 |
|
|
|
U(о ф) = |
V |
|
|
|||
|
7. |
гн (Ап cos nq> + Bn sin Яф), |
|||||
|
|
|
|
4яш |
• |
|
|
|
|
|
гс = 0 |
|
|
|
|
118
коэффициенты которого определяются из условия (60). Для кольцевой области, образованной двумя концентрическими окружностями радиу сов Ri и R2, решение представляется рядом
С |
О |
и = ^ |
( C n ^ + ^ - ' j i A n cos тр-{-Вп sin rup) + Aa + B0 lnr, |
коэффициенты которого (Ап, б 0, СпА,и СпВп, DnAn и DnBn) опре деляются из краевых условий *)
ф)=fj (ф). ф)=Мф)-
П р и м е р 9. Решить краевую задачу
Дм = |
0, |
|
|
(70) |
и (0, у) — и (I, |
у) ~ 0, |
(71) |
||
и(х, 0 ) = f l (x), |
и(х, |
b) = f2(x) |
(72) |
|
в прямоугольной области {O sgxsg/; |
0 |
|
|
|
В классе функций вида Ф (х) ¥ (у) ищем решения уравнения (70), удовлетворяющие лишь однородным краевым условиям (71). Подстав ляя такую функцию в уравнение (70) и разделяя переменные,
ПОЛуЧИМ |
|
ф// |
т // |
|
|
|
-W + - T - 0- |
|
|
Чтобы это |
равенство |
было тождеством, необходимо, чтобы Ф"/Ф = |
||
= — К, Чг"/Дг = Я, где |
Я —постоянное число. |
и ¥ (у): |
||
Таким образом, получаем уравнения для функций Ф (х) |
||||
|
|
ф " + |
1 ф = 0 , |
( 7 3 ) |
|
|
|
= |
(74) |
Из условий (71) находим, что |
|
|
||
|
|
ф (0) = |
Ф (/)= 0 . |
(75) |
Задача (73), |
(75) имеет лишь положительные собственные |
значения |
||
|
кп = лая2//2 |
(я = 1, 2,...). |
|
|
TCft
Им отвечают собственные функции Фя (х) = sin —j— х **). Обра
тимся к уравнению (74). При к — кп оно имеет общее решение вида
(</)= C„ ch V K y + Dn sh \ 'кпу.
Следовательно, решения уравнения (70), удовлетворяющие лишь краевым условиям (71), имеют вид ип (х, у) = Фп (х)Чп (у).
Решение задачи (70)—(72) представляется рядом
С О |
|
и (х, у) = У ( сп ch VknV + Dn Sh | кпу) sin |
х, |
п= 1 |
|
*) Читателю рекомендуется написать соответствующие формулы для определения этих коэффициентов.
**) См. гл. IV, § 3, пример I.
119