Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

(« Ж + Н “

{ » <(“ж + Н Ч ( '- * > } * =

о

t

t

=

^

jj -J{p(Af, т)т|(*-т)} сГт =

6

о

*

i

=

^ p (M, t) ~x\ (t — x) dx = ^ p (M, x)8 (t — x)dx = [i(M, t).

6

о

Подставим

выражение (**) для

u(M,

t)

в уравнение

(1),

для чего

воспользуемся формулами

(5)

и (6). Для внут­

ренних точек области D в силу (4) имеем

t

u {М,

t) — \ wt (М,

t — x,

т) dx,

о

t

щ (М,

0 = 5 ®>п (М,

t — x,

х) dx.

0

i

Следовательно,

utt — ^wttt{M,

t — x,

т) dx -f wit {M,

0,

t).

Из тождества

о

х)] = р(М)<% (М, t — x,

т),

L[w{M, t — x,

пользуясь

непрерывностью wtt в области

( М ё

О,

t~3 ^ 0),

находим (при t —т-^-0)

L[w(M, 0 ,

0 ] = р ( М ) ш « ( М ,

0 ,

0 =

0 ,

поскольку

w(M, 0, 0 = 0 для внутренних точек обла­

сти D, и,

следовательно, L[w(M, 0,

0 ] = 0.

Таким образом,

1

0

=

t — x,

х)dx.

о

Поэтому

L [и] -

putt =

^ gt \L [wj -

pwtt\ dx = 0,

о

так

как L [w] =

рщу*

по

построению. To есть выражение

(**)

дает

решение задачи

(1) —(3).

когда р,(М, t) = Q{t).

Рассмотрим

частный

случай,

Аналогично предыдущему решение можно построить сле­

дующим образом.

1) Решаем уравнение

(1) с краевым условием вида

(a dn + Р«) = л (0.

т. е. для

Q (()■=].

Пусть

R(M,

t) — решение этой

задачи. Тогда реше­

нием задачи с краевым условием вида

( a S + P u ) s =1fi W Q f r ),

где т — фиксированное число, будет функция Q(x)R(M,

t).

2) Решением уравнения (1) с краевыми и начальными

условиями вида

( a | “ + pw)5= Q(T)T!(/-T),

ll\t—x

\t~% 0

будет функция Q(x)R(M,

t — x)r\(t — х). Заметим,

что

R(M, 0) =

Rt {М, 0) = 0.

3) Решением уравнения (1) с краевыми и начальными

условиями вида

U рп+ P«)s = Q(И h

(* - т) - ч (* - т -

-

U \t — x

\ t ~ x ~~ ^

будет функция

П р и м е р . Найти

решение

задачи

a2uxx = Uf,

и(х,

0) = 0,

и (0,

t) = 0,

u(l,

=

Сначала

находим

решение

задачи

R (х,

t) для Q (t) =

1. Функ­

цию R (х, t)

ищем

в

виде суммы R — v (х) +

Р (х, i), в которой ц(х)

описывает стационарный

режим, а Р (х, t ) ~ отклонение

от

него.

Для v (х)

задача ставится следующим образом:

и" =

0,

п(0) = 0,

v(l)= 1.

Решением

будет функция хЦ. Для

Р (х,

t) задача

ставится сле­

дующим образом:

a2Pxx = Pt,

Р(х, 0) =

— *//,

Р (0,

t) = P (l ,

0 = 0.

Решая

эту задачу

методом

разделения переменных

(см.

пример 1

гл. IV),

находим

Р(х, 0 =

V

-a2K.J

пп

я2л2

—

~ г -

П—I

Коэффициенты Сп определяются из начального условия

-

х

\

. пп

— =

2 ^ Сп s,n ~~ х

П=1

I

и равны Сп= я

1)л

п

Таким образом,

R

I

я

^

п

I

п — 1

Следовательно, решением

исходной задачи будет функция

t

и(х, / ) =Ц( 2( т )

^ [Я (х , t — т) т) (t — т)] dx,

о

ИЛИ

t

t

u(x, Q«= ^ Q(t) ~ R ( x ,

t - x ) d x +

[ Q (x) R (x,

t - x ) b ( t - x ) d x =

о

о

t

=

^ Q W

f, Л (*, t — T) dt + Q ( 0 R (X, 0).

о

Функция

/? (x,

0)

равна

нулю

для

внутренних точек отрезка [0, /]

и для х =

0,

а

при х — 1 имеем R (х,

0) =

1.

Если

надо решить задачу

а2ихх = Щ,

и (х,

0) = 0,

и (0,

i) = Q1(t),

u(l,

t)=Q2(t),

то решение ищем в виде суммы двух функций

u = v-\-w,

где для v и w задачи ставятся следующим образом:

v: a2vxx = vt,

v{x,

0) =

0 ,

и(0 ,

t) = Q1(t), v(l, t) = 0 ;

w: a2wxx = wt,

w(x,

0) =

0 ,

w (0,

t) = 0,

w (l,

t) =Q2(t).