Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 162

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

коэффициенты которого определяем из краевых условий (72):

f 1 (х) = 7 Сп sin —j— х

П=1

 

со

,

пп , ,

, л/г ,\ .

я/г

h ( х ) =

У .

( с eh - j - b + Dn sh - у - 0 I sm - r - x ,

 

/

\

l

l j

l

Отсюда

п =1

\

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

C n = l

jj/i(E)

S i n - ^ u s

 

6

i

Ch - J - b + Dn sh - J - b = ^ ^ f2 (£) sm — $ cf£.

В гл. XIV, XVI (§§ 1, 3) приводятся другие примеры примене­ ния метода разделения переменных к уравнениям эллиптического типа, требующие использования специальных функций.

ЗАДАЧИ

1. Решить задачу

о колебании струны 0 <7 л

с

жестко закреп­

ленными концами,

если до момента ^ — 0 она

находилась в состоянии

равновесия под действием поперечной силы

F0 = const, приложен­

ной в точке х = х„ струны перпендикулярно

к

невозмущенному по­

ложению струны,

а в момент t = 0 действие силы А0

мгновенно пре­

кращается.

 

 

 

 

 

2. Решить задачу

о колебании струны с жестко закрепленными

концами под действием импульса Р, сообщенного струне в момент

времени 1= 0

в

точке х = х0.

 

 

3. Стержень

с жестко закрепленным концом

(х = 0)

находится

в состоянии

равновесия под действием продольной

силы

const,

приложенной

к

концу x = t. В момент 1 = 0 действие силы F„ мгно­

венно прекращается. Решить задачу о продольных

колебаниях этого

стержня.

 

 

 

 

4. Один конец стержня {х —1) закреплен упруго, а другой (х = 0) в начальный момент времени получает продольный импульс Р. Решить задачу о колебании стержня.

5. Найти температуру шара радиуса R, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры. Начальная температура шара равна f (г).

6. Решить^ задачу об остывании сферической оболочки Rt

г R2,

на внутренней и внешней поверхностях

которой

происходит

конвек­

тивный

теплообмен

со средой нулевой

температуры; u(r,0) = f(r),

Ri < г <с R2.

сферическом сосуде 0 ^ г

R

 

 

7.

В замкнутом

происходит диф­

фузия

вещества, частицы которого размножаются,

причем скорость

размножения пропорциональна концентрации. Найти размеры сосуда (критические размеры), при которых процесс будет иметь лавинный

120

характер, если: а) на поверхности сосуда поддерживается концентра­ ция, равная нулю; б) стенка сосуда непроницаемая; в) стенка сосуда полупроницаемая.

8.Найти собственные значения и собственные функции прямо­ угольной мембраны с краевыми условиями первого (второго, третьего) типа. Показать в случае квадрата, что одному с. з. могут соответст­ вовать две с. ф.

9.Определить собственные значения и собственные функции прямоугольного параллелепипеда при краевых условиях первого (второго, третьего) типа.

10.Найти собственные частоты акустических резонаторов*), имеющих форму: а) прямоугольного параллелепипеда: б) шара.

11.Решить задачу 1 гл. II

12.Решить задачу о продольных колебаниях стержня O^S-.x^l, один конец которого закреплен жестко, а к другому с момента t = 0

приложена сила

F0 = const.

стержня 0 < cx sг:/, концы

13. Решить

задачу

о температуре

которого поддерживаются

при постоянной

температуре (иг и и.г), а на

боковой поверхности его происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой равна u3 = const. Начальная температура произвольная.

14. Решить задачу о температуре стержня Otgcx-g;/, на концах и боковой поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средами, имеющими постоянную температуру. Начальная темпера­

тура произвольна.

 

 

 

 

 

 

х <с /

равны

15. Давление и температура воздуха в цилиндре 0

атмосферным; один конец цилиндра

с момента 7 =

0 открыт, а другой

остается все

время

закрытым.

Концентрация

некоторого

газа

в атмосфере

равна

u0 = const.

С

момента

1 = 0

газ диффундирует

в цилиндр через открытый конец.

Найти количество газа Q(t), про-

диффундировавшего

в

цилиндр,

если его

начальная

концентрация

вцилиндре равна нулю.

16.Решить задачу 15, предполагая, что диффундирующий газ распадается со скоростью, пропорциональной его концентрации.

17.Найти электрическое напряжение в проводе Osc x s c l с пре­ небрежимо малыми утечкой и самоиндукцией, один конец которого изолирован, а к другому приложена постоянная э. д. с. Е0. Начальный

потенциал равен п0 = const, а

начальный

ток равен нулю.

18. Найти электрическое

напряжение

в проводе с пренебрежимо

малыми утечкой и самоиндукцией, если его конец х = / заземлен, началь­

ный

ток и начальный потенциал равны нулю,

а к концу х — 0 прило­

жена постоянная э. д. с.

£ 0 через сосредоточенное сопротивление R0.

ных

19. Проводящий слой

0 sg x sS /

был свободен от электромагнит­

полей. В момент 7 = 0 всюду

вне слоя

возникло постоянное

однородное магнитное поле Я 0, параллельное слою. Найти магнитное поле в слое при 7 > 0.

20. Найти температуру стержня О- ^ c x ^ l с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура равна нулю, один конец поддерживается при нулевой температуре, а другой

теплоизолирован

и с момента 7

= 0 в

точке х0, 0

с х 0<1, действует

источник постоянной мощности

Q.

 

 

*) Акустическими

резонаторами

называются

замкнутые объемы

с отражающими

звук

стенками,

предназначенные для усиления зву­

ковых колебаний.

 

 

 

 

 

121

21. Найти температуру однородной пластины

с

нулевой

началь­

ной температурой,

через грань х —О которой

подается,

начиная

с t —■0, тепловой

поток постоянной плотности (/,

а

грань х — I под­

держивается при температуре и0= const.

22. Через проводник, имеющий форму плоской пластины тол­

щины /, пропускается, начиная с

 

момента t =

0, постоянный ток,

выделяющий теплое плотностьюQ—const. Найти температуру пластины

при t >

0, если на границах ее происходит отдача тепла в окружающую

среду

по закону Ньютона. Температура

среды

равна

u0 =

const.

Начальная температура пластины равна нулю.

 

 

равна «0 =

const, а н

23.

Начальная температура шара 0

 

 

 

его поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, име­

ющей температуру n1 = const. Найти температуру шара

при t > 0.

24.

Поток тепла (за единицу времени) Q втекает через плоскую

часть поверхности бруса полукруглого сечения и вытекает через

остальную часть его поверхности. Найти стационарное распределение

температуры по сечению бруса,

считая, что втекающий

и вытекающий

потоки

распределены

с постоянными

плотностями.

 

 

 

 

 

. 25. Стрелка прибора укреплена на конце стержня длины I,

закрепленного

в

сечении х = 0.

Решить

задачу

о

крутильных

коле­

баниях стержня,

если

в начальный

момент / =

0

стрелка была

закру­

чена на

угол а и отпущена без начальной скорости. Момент инерции

стрелки

относительно оси вращения

 

равен

/ 0.

 

 

 

 

 

 

 

26.

К

струне

0 -с-х-г, /

с

жестко

закрепленными концами

с момента i" =

0

приложена непрерывно распределенная сила с линей­

ной плотностью:

a)

<I)= d)0 sin£o/;

б) Q =

<t>0 cosa>4

где Ф0 =

const.

Решить задачу о колебании струны.

струны

 

 

 

 

с жестко за­

27.

Решить

задачу о колебании

 

 

 

 

крепленными концами под действием силы

F — F0 sin mt

(и F0cosu>t),

приложенной к точке х0 с момента

t = 0,

при

отсутствии

резонанса.

28.

Найти температуру стержня

 

t = 0

с теплоизолированной

боковой

поверхностью, если с момента

начинают действовать

тепловые источники,

распределенные

по

стержню

с

 

плотностью

Ф (0 sin

ЗТ

х. Начальная

температура равна

нулю. Концы

поддер­

-

живаются

 

при нулевой

температуре.

поверхности

которого

29.

По

стержню O s jx s c /, на боковой

происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры,

движется

печь

со скоростью v0 = const. Поток

тепла (в единицу вре­

мени) от

печи

к стержню

равен q — Ae'h t ,

где h —- коэффициент

теплообмена,

входящий

в

уравнение

теплопроводности для стержня

и( —а2ихх —

Ли.

Найти

температуру

стержня,

если его начальная

температура равна нулю, а концы поддерживаются при нулевой температуре.

если

30.

Решить задачу о продольных колебаниях стержня 0 ^

х s£._1,

конец х = 0 стержня

закреплен жестко, а к концу

х — 1,

начиная

с

момента t = 0 , приложена сила

F — A sin со/ (и A cos Ы),

А — const.

 

задачу

о

температуре

шара O ^ r - ^ R ,

если его

 

31.

Решить

начальная

температура

равна

м0 = const,

а внутрь шара, начиная

с момента

t = 0,

через

его

поверхность

подается постоянный

тепло­

вой

поток

плотности

q = const.

теплоизолированной боковой

поверх­

 

32.

Стержень 0 scx st; /

с

ностью и постоянным

поперечным сечением

составлен из двух

одно-

122

родных стержней 0

«с. х ■< ха, xns

с

различными физическими

свойствами. Найти

температуру в

стержне,

если его начальная тем­

пература равна f (х), а концы поддерживаются при нулевой тем­ пературе.

33. Найти температуру однородного стержня с теплоизолирован­ ной боковой поверхностью, в точке х„ которого находится сосредо­ точенная теплоемкость С0. Начальная температура произвольна,

аконцы поддерживаются при нулевой! температуре.

34.Найти напряжение в проводе с пренебрежимо малыми само­ индукцией и утечкой, если один конец его (х =1 ) заземлен через

сосредоточенную емкость

С0, а к другому (х = 0) приложена

посто­

янная э. д. с.

Е0. Начальный

потенциал и начальный ток

равны

нулю.

решение

первой

внутренней краевой задачи в круге

35. Найти

радиуса R для уравнения Лапласа с краевыми условиями: а) и (R , <р)=

= .4cos(p; б)

и (К, <p)=

^ + 5 s in (p ; в) и r==R= Axy\ г) и (R,

ф) =

=A sin2 ф + В cos2 ф.

36.Решить вторую внутреннюю краевую задачу в круге радиуса R

для

уравнения

 

Лапласа

 

краевыми

условиями:

а)

ди I

-А;

 

 

дп |с

 

 

 

 

 

 

ди j

 

 

 

 

 

 

 

ди

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

— A sin ф -)- В sin3 ф.

 

 

c = Ax’ B)dn\c = A{x"

- y2y'

 

дп

 

 

Отметить неправильно

поставленные задачи.

 

в кольце Rt <

 

37.

Решить

первую внутреннюю

 

краевую задачу

< r < R 2

для уравнения Лапласа

с граничными условиями

и \r=R —

— и\,

u.\r=R

~ и 2.

Пользуясь

решением

 

задачи,

найти

емкость

цилиндрического

конденсатора,

рассчитанную на единицу длины.

 

38.

Найти

емкость

сферического

конденсатора,

заполненного

диэлектриком

с

диэлектрической

постоянной

e = ej для а < г < с

и

е = е2 для

с < г < Ь .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39.

Найти потенциал электростатического поля сферы радиуса R,

заряженной до потенциала

и0 и помещенной в неограниченную среду

с диэлектрической постоянной е,

равной 8= 8!

для

R<Zr<Zc и е =

=

е2

для

г > с .

 

Рассмотреть

частные

случаи:

а)

с= со;

б)

е2 =

со;

в)

е1 =

е2 = е.

 

решение

внутренних

краевых

задач

в

кольце Rt <

 

40.

Найти

 

 

 

 

для

уравнения Ди =

Л с краевыми условиями;

а)

и \r=R =

— иъ

 

I

 

 

 

 

 

,

 

 

 

ди

 

— иг-

 

 

 

 

 

 

и 1г==дг— и2;

б) u\r _^R i — Ui,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41.

Найти

решение краевой задачи Д и = 1,

и \r^ Rl = 0,

u\r _ R —

= 0 в сферическом слое

R1 < r <

R2.

 

электростатического поля

 

42.

Найти

распределение

потенциала

и(х, у)

внутри

 

коробки

прямоугольного

сечения

 

— а < х < а ,

— Ь < у < Ь ,

две

противоположные

 

грани

которой

( х = ± а )

имеют

потенциал

1/0,

а

две другие

заземлены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г л а в а V

МЕТОД ДЮАМЕЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О РАСПРОСТРАНЕНИИ КРАЕВОГО РЕЖИМА

Метод Дюамеля применяется к решению задач о рас­ пространении краевого режима, т. е. задач вида

L [«] =р(М) [

Utu

(1)

и

{ щ

 

 

 

 

и(М, О) = ut (M, 0) = О

(соответственно и(М, 0) = 0),

(2)

(а |? + ^ ) 5 = (т(М,

t)r](t),

л(0 = | q

(3)

исостоит в следующем.

1)Сначала решаем задачу (1) —(3) со стационарной неоднородностью в краевом условии, т. е. с краевым условием вида

( а ^ + Р«)5 = 11(0|^(Л4. т)

(стационарная неоднородность р,(М, т) в краевом режиме включается с момента / = 0), где т — фиксированное число. Пусть w(M, t, т) — решение этой задачи, непрерывное вместе с производными первого порядка и с производной

wtt в области

( М е й ;

0) *).

краевыми и

началь­

Тогда решением задачи (1) —(3) с

ными условиями вида

 

 

 

+

 

т)’

u i'~* = « / k r

= 0

(стационарная

неоднородность ц(/И,

т) включается с мо-

*) Решение этой задачи надо трактовать как обобщенную функ­ цию, поскольку г|(бц (М , т) есть обобщенная функция.

124

мента t = т) будет функция

w(M, t — х,

x)r\(t —т).

Заме­

тим, что во внутренних точках М области D выполняются

тождества

 

 

 

w{M, 0, t)==wt {M, 0, /) =

0.

(4)

2) Решением задачи (1) —(3) с краевыми и начальными

условиями вида

 

 

 

U \t —х —

|/ _ t = О,

 

 

\ а Ш + $ и ) s = ^ ^ ’ т) fa (* - т) - Л (* - т - * ) ]

(стационарная неоднородность р(М, т) в краевом режиме действует лишь в течение промежутка времени от / = т до / = т + ^т) будет функция

w(M,

t — x, x)x\(t — x) — w(M, t — x— dx, т) г| (t — х — dx) =

 

 

 

= 0j[w{M, t — x, т) t) (t — t)] dx.

3)

В исходной

краевой задаче (1) —(3) неоднородность

в краевом

режиме действует в течение промежутка

вре­

мени

от 0

до t.

Поэтому можно ожидать, что решением

задачи

(1) —(3) будет функция

 

 

 

 

t

 

 

и(М, t)=

^ dt[w{M, t — x, т)rj(t — т)] dx.

(**)

 

 

 

о

 

Непосредственной проверкой убеждаемся в справедли­ вости этого предположения. В самом деле, эту функцию можно записать также в виде

t

и(М, t) = $ г} (t —•т) wt (М, t — x, т )Л +

о

 

t

 

 

 

 

t — x,

x)8 (t — x)dx,

 

 

о

 

 

ибо ~jx\ (t — x)— 8 (t — x).

Поскольку r| (/ — т) = 1 для всех

х от 0 до t,

то, используя основное свойство 8-функции,

получим

t

 

 

 

 

 

 

 

и(М,

t) —^ wt (М,

t — x, х) dx -j- w (М,

0, t).

(5)

 

о

 

 

 

125

Смотрите также файлы