Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

находят

некоторое

специальное

решение задачи того же

типа и через него в квадратурах

выражают решения

ис­

ходной задачи.

Подробнее опишем метод на примерах решения крае­

вых задач и задач Коши.

Вопросы единственности реше­

ния этих задач рассматриваются в гл. VIII.

§ 1. Сущность метода функций Грина решения

краевых задач и задачи Коши для уравнений

параболического

типа

1 .

Пусть требуется

найти

решение однородной

крае

вой задачи в области В =

{ М е Д

/ > 0}

L[u] = put,

(1)

'

(Y i^ + Ta«)s = 0,

(2)

и(М,

0) = Ф (М),

(3)

непрерывное в замкнутой

области

В == \М е D; t^O} .

Предположим, что, какова бы ни была точка Р из

области D ( P ^ D ) ,

мы можем найти решение специаль­

ной однородной задачи

L[G] = pG„

(4)

(yiS + v8g)s = o,

(5)

G | , - 0= 6 (Alf

Р),

(6 )

М, Р и переменной

t, т. е. G = G (М,

Р; t). Оно

назы­

вается функцией Грина исходной задачи

(1) —(3).

Итак, предположим, что нам известна функция Грина.

Тогда решение задачи

(1) —(3) и(М, t) выражается

через

функцию Грина в квадратурах:

и(М, t) =

$ G(М , Р; t) ф (Р) dxP.

(7)

Ъ

и (М ,

0) = § G|/_0ф (P)dxp = jj б (М, Р) ф (Р) dxp —ф (М) *).

D

D

Таким

образом,

задача (1) —(3) сводится

к нахождению

функции Грина

и к проверке законности дифференциро­

вания под знаком интеграла необходимое число раз по

координатам точки М и по переменной

t правой части

формулы (7).

2.

Если

требуется найти решение неоднородной крае­

вой задачи вида

t) — pUj,

L [« ]+ /(M ,

(8)

и(М,

0) = ф(Л4),

(10)

L[v]= pvt,

(y iddVn+ y2v)s = 0;

v(M, 0) =

Ф(Л1),

L[w] + f(M,

t) = pwh

(11)

( Y i^ + Y ^ )s = 0;

(12)

___________

w(M, 0) = 0.

(13)

5 *

1 3 1

Согласно п. 1

функция v(M,

t)

имеет вид

v (М,

0

= 5 ^ (^> Р'

0 Ф (?) d%P-

D

Решение

задачи

для w(M, t)

методом,

описанным в

гл. III § 6 ,

сводится к решению однородной

задачи. Дей­

ствительно, если Щ{М, t\ б) есть

решение однородной

краевой задачи

1 [Щ] = рЩ„

(14)

V . f + т,щ ) 5 = о,

(15)

п м , 8)

(16)

Щ - е = Г''

то

р(М) ’

W(М, Ц =

t\

8)dB.

(17)

В самом деле,

ш(М, 0) = $ Щ й б = 0 ,

о

t

i

L[w] = \L [m \ de =

SpZZbrf0,

о

о

t

L[w] + f(M, t) = \ pm t dB+f(M,

t).

щ

Н м ,

о

dB.

Р (М)

Функцию Щ (М,

t\ 0) с помощью функции Грина можно

написать в виде

Щ(М, О 6 ) = j j G ( M , Р; t - 6 ) f- ^ - d r P.

Следовательно,

Ь

t

w(M, 0 = 5

p >

L[u]Arf{M, 0 = Р«о

(18)

(yi^ + Vs“)s = 4>(A1, 0.

(19)

и(М,

0) = ф (М)

(20)

решение надо искать в

виде суммы двух функций

и —

L[u]+f(M,

t) = puit

(21)

и{М,

0) =ф (М ).

(22)

О п р е д е л е н и е .

Функцией Грина задачи

Коши

(21) — (22) называется

решение однородной задачи

Коши

СО

и{М, 0 = $---$G(M>

0 Ф (Р) dxP,

(23)

—00

СО

0 0

L [и] =з $ ... $ L [G] ср (Р) dxP=

$.. • $ pG,cp (Р) dxP== рщ,

— ОО

— 00

v. L [у] — рvt,

v (М, 0) =

ф (М)]

w: L[w]-\- f (М,

t) = pwt,

w(M, 0) = 0.

Решение последней задачи сводится к решению однород­

Ц Щ ] = РЩ „

TO

t

w(M, 1) = $Щ(М, t; 6)d6.

о

Пусть

нам

известна функция Грина задачи Коши

G(M, Р;

t); тогда

СО

Щ(М, t;

Р; t - 6 ) -f j ^ d T p

— СО

И

< 03