Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 122

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рассмотрим некоторый объем жидкости D, ограничен­ ный поверхностью S. Давление, действующее на этот объем, равно

SS pnds, s

где л —единичный вектор внутренней нормали к S. По формуле Остроградского получим

l\p n d s = - ] ^ p d x ,

S D

где Vp —градиент р.

При отсутствии внешних сил уравнение движения объема D можно написать в виде

Ш р£ Л=- Ш 7',Л-

 

D

 

D

 

Из него в силу произвольности D получаем уравнение

движения в форме Эйлера:

 

 

 

p f + Vp = 0 .

(9)

Здесь ^- — ускорение

частицы,

равное

 

дъ

dv .

dv . dv

 

dt +

t>i dx

dy^~ Vsdz ‘

 

Если внутри D нет

источников (стоков), то

изменение

в единицу времени количества жидкости, заключенной внутри D, равно потоку жидкости через границу 5, т. е.

а-$$$рЛ=-И р(®'я,Л-

D S

Применяя к правой части формулу Остроградского, полу­ чаем

|/ + div (р«) dx — Q,

откуда следует уравнение неразрывности среды

div (pv) = 0 .

(10)

Рассмотрим адиабатические движения газа, для которых справедливо соотношение

Р = Ро{р/Ро)у>

(П)

27

где у — cplcv, ср, cv— удельные теплоемкости соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме; р0, р0 — начальные значения давления и плотности. Нелинейные уравнения (9) —(11) образуют полную систему уравнений, описывающих адиабатические движения идеального газа.

Они называются уравнениями газодинамики.

Введем в рассмотрение уплотнение газа а:

а = (р_ро)/ро, р = р0 (1 + а ).

(1 2)

Если ограничиться рассмотрением малых

колебаний,

в которых можно пренебречь вторыми (и более высокими)

степенями уплотнения, скорости и градиентов

скоростей

и давлений, то уравнение (9) и (11) допускают сущест­

венные упрощения (линеаризацию).

имеем

Действительно, при указанных допущениях

1 _ l_

1

-j- (1 - 0 + <J2

 

( l - о ) .

Р Ро

1 + о

Ро

 

 

Р = Ро(1 +cr)v

Ро (1 + т °).

 

(13)

I v p ^ l u - o J V p ^ O - a )

— Va

(если p0 = const),

Po

 

div (p© )^p0 div[(l +о)©] «а p0 div(©) (если p0= const).

Поэтому, отбрасывая в уравнениях (9) и (10) члены более высокого порядка малости, получаем

®,+ ааусг = 0 (а2 = ур0/Ро),

07 +

div (©) = 0. (14)

Применим к

первому уравнению

(14) оператор div, а ко

второму — ^ .

Результаты вычтем

один

из другого —по-

ЛУЧИМ

a*Aa = a„.

 

(15)

Из соотношений (12), (13) и (14) находим аналогичные уравнения для р и р:

 

 

а2Ар — p(t, а2 Ар — ptt.

 

(16)

Уравнения (15)

и (16) называются уравнения акустики.

О ни, очевидно,

гиперболического типа. Такие

уравнения

называют также трехмерными волновыми уравнениями.

 

Далее, из первого уравнения (14) находим

 

 

©(*, у, z,

t) =

*

/1

\

= v(x,

 

у, z, 0) — a2^Vodx = v (х, у, z, 0) — V K a2adTj.

28

Предположим,

что в начальный

момент

(/ =

0) поле

скоростей

имеет

 

потенциал f(x,

у, z), т.

е.

©j,_ 0=

= — у/(х> У> 2).

Тогда v(x, у, г,

t) = — V{f(x,

у, г) +

-j-a2 $0 dol = — Тц;

следовательно,

поле скоростей имеет

о

J

 

t > 0

 

 

 

потенциал

и и для

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

и = f (х, у, z)-\-a2^adx.

 

 

 

 

 

о

 

 

 

Дифференцируя это

соотношение по t, находим щ — а2о,

utt = a2c>t.

Заменяя

 

во втором уравнении (14) ot

и v их

выражениями через и, получаем

 

 

 

 

 

 

a2Au = uti.

 

 

(17)

Таким образом, и потенциал поля скоростей удовлетво­ ряет волновому уравнению.

§5. Уравнения для напряженности электрического

имагнитного полей в вакууме

Напишем уравнения Максвелла в вакууме для области, в которой нет электрических зарядов:

ro t £ = —

Щ, div£ = 0 , d i v # = 0 , rot

—

c

at ’

c at ’

 

 

(18)

где /

/ —напряженность магнитного поля,

Е —напряжен­

ность

электрического поля.

 

Применяя операцию rot к первому уравнению, получим

 

rot rot Е —^ ~ rot Н.

(19)

По известной формуле векторного анализа

rot rot Е = V (div Е) — АЕ.

В нашем случае rot rot Е — — АЕ, поскольку div Е = 0. Подставляя это значение в формулу (19) и используя последнее уравнение системы (18), получаем волновое уравнение для Е:

с2 АЕ — Еи.

(20)

Аналогично (путем применения оператора rot к обеим частям последнего уравнения системы (18)) получается уравнение с2А Н = Н н.

29

§ 6. Уравнения теплопроводности и диффузии

Выведем уравнение, описывающее распределение тем­ пературы в теле.

Пусть и(М, ^ — температура тела в точке М в момент времени t. При выводе уравнения будем пользоваться законом Фурье для плотности потока тепла w в направ­ лении п в единицу времени:

,д и

W — — k ,- .

on

Здесь 6 — коэффициент теплопроводности. Он может быть функцией температуры, точки и времени: k = k(u, М, t).

Рассмотрим часть тела D, ограниченную поверхностью 5. Обозначим через f(M, t) плотность источников тепла. Подсчитаем баланс тепла для D за малое время At:

Q1 = ^ ^ / ( M ,

t) dx At —приход за счет источников;

 

D

 

 

Qa =

— ? ( k d a

At — расход за счет выходящего

 

•V

П

из D потока;

 

 

ди

берется по направлению внешней

здесь производная ^

нормали

к S;

 

 

Q3 = ^

^ срщ dx At — расход на изменение температуры,

огде с —коэффициент теплоемкости, р —плотность вещества.

Закон сохранения энергии требует, чтобы Qi = Q2 + Q3> или

 

0 A

- $ 5

$ W , * .

S

D

D

 

Применяя к первому интегралу формулу Остроградского, получаем

^ $ J [div (k VU) + / (М, 0] * = $ $ $ cput dx,

D

D

 

откуда, ввиду произвольности области D, следует иско­

мое уравнение теплопроводности:

 

 

div (£ 4u)-\-f{M,

t) = cput.

(21)

30

Смотрите также файлы