Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 123

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

22.

^-x {kux) + Qb(x — v0t)=cput; и (x,

0) =

q> (x) .

 

 

 

 

23.

а2м60— h(u — u0) = ut\

и (0,

'0) =

ф (0);

и (О+

2л,

t) =

и (0, *);

0 —полярный

угол,

a2=

^ j j ,

/? —радиус кольца.

 

 

 

 

 

 

5

_

с2

а2£

 

а //

с2

а2//

 

 

 

 

 

24<

 

 

 

 

 

 

аГ =

4 й 5|Г

а ^ -

где

с- ск°р°сть

света, а —проводимость

среды,

р —магнитная

проницаемость,

| —

расстояние, отсчитываемое от фиксированной плоскости,

£ =

£ (£

t)

H = H & ,t) .

 

 

б)

Ди = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

а)

Ди = — 4яр;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава III

 

 

 

 

 

 

 

 

1. См.

рис. 45.

У к а з а н и е .

Воспользоваться

формулой

Да-

ламбера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КЧ

 

 

 

 

Z X ___

 

 

3=3,

 

 

XX

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2с

Зс

 

 

 

 

К Ч

 

 

 

Л .

/ \ / \

 

КЧ

 

 

 

 

 

/ \ / \

 

 

___ Z X

 

~2с -с 0

с 2с

 

~3с ~2с -с

0

 

с

2с Зс

 

 

 

 

 

 

 

,

/

\

■

К=3

 

 

 

 

~4с ~3с ~2с -с

 

 

 

 

 

 

 

 

0 с 2с Зс 4с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

46.l*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

с

2с Зс 4с

 

 

 

О '\С,'2с Зс

4с Зс 6с

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 47.

 

Н=6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. См. рис. 46.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. и (х,

t) = ^ { F (x-\-at) — F (x — at)},

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

0,

 

 

ZsX —с,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^(z) = <

v0 (z + c),

— csc z sg c ,

 

 

 

 

 

4. См. рис. 47.

 

l

2y0c,

 

2 > ; C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

403

5. и (х,

0 =

2д \ F (x + at)— F (х — at)},

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

а2ихх = иц;

и (0,

t) = 0 ;

и (х, 0):

У к а з а н и е .

 

Решать

задачу:

= 0, ut (x,

0) =

Р

8

(х — х0),

0 <

. со.

 

 

 

 

 

 

■-

 

 

 

 

 

 

 

6. Для

 

 

Г

 

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

—с о < л ;< ;0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

ai )

 

l^ P i^ i + V Рг^г V a-г J

 

преломленная

 

волна: ы2 (лг,

А = —-—— -

 

 

 

— f ! t — Х \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;_ 1/ Р1£1 + ^

 

Г \

a j '

отраженная

 

 

 

 

—^Pl£l —^92^2 f ff

I ^_\

 

волна: u0Tp=

 

V piE i + V р%Е2

\

% / ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u0Tp отсутствует при

РхЕ^РаЕг-

 

 

 

 

 

 

 

 

7. w(jc,

0) =

£ 0e~ VGR X,

i (x,

0) =

£ 0 j / ~

G

—YiSR)

L

 

 

 

 

v (x,

t) = E0e~-VGR]

 

r\(x — at),

0 < x ,

t<L co\

 

 

 

 

 

 

i(x,

t) = Ea j / "

G — Y GR x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

r\{x — at).

 

8.

и (x,

iI1) =

0,

u(x,

t2) = — u(x,0),

u(x,

t4) == и (x,

0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + a t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

ut (x,

t) = .

 

%2aTo

a +S vо

F(® d%’

~

 

a t < x < v 0(,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

x > at,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

at — x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2 (x,

t)--

а--Щ

 

j

F (l) d\,

v0t <

x < at,

 

 

 

 

 

 

 

 

' 2aT0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

x >

at,

 

T0— начальное натяжение струны.

 

 

 

 

 

 

 

 

10. u(x,

t) = x\[t ——\ fit

— -

 

a-

 

1

 

 

 

VLC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

\

 

a

 

 

 

 

 

11.

I(x,

t) = 4 [

t - ^

V - j / ~

c

 

 

.

 

 

где

a =

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

I е

 

 

 

■

V l c ’

a -‘ k

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>2.

S (M,

t)

 

 

S 0 ш j

 

 

j

4л"3 dJ

 

{ ) .

 

 

404

13. Только

уравнения гиперболического типа вида

 

 

 

 

 

а п и х х + 2 а 12мЛ/ + а 22м « — 0.

 

 

 

Скорость а определяется из уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а.22а 2 — 2 а 12а + ап = 0.

 

 

 

14. Только уравнения гиперболического типа с коэффициентами,

удовлетворяющими соотношениям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о^а2 —2а12а + ап = 0, Ьх— Ь2а —2р (а12 —а22а) = 0,

 

 

 

 

 

а22а2 — р/;2 +

с =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава IV

 

 

 

 

 

1. и (х ,

t)--

 

— 2hP

 

 

 

1

 

. яп

 

. ля

я па

 

Л 2Х 0

(/ -

Х0)

А

н2 sm ~ Г

' s m ~

T x

cos I - * > гДе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Л —

То 1хо0 — ■'■о) •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„

/

Л

 

2Я

7

1 .

янп

 

х0

. я п

 

.

лап

,

2.

и U,

п = -----

— sm - 7-

 

sin

-7—л; • sm —;—

t

 

 

 

яар

_

п

 

/

 

 

 

I

 

 

I

 

 

 

 

 

п — 1

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

У к а з а н и е .

и(х, 0 )= 0 ,

ut (x,

 

 

 

 

0) = — б (х — х0).

 

 

 

 

 

8/Т0

СО

 

{ ~ \)п . 2п + 1

 

2п + 1

3.

и (х, t) --

 

 

 

 

'n 2ES

Ld

(2п+1)2

■sm —ттТ— пх ■cos —

- a n t.

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

п == 0

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У к а з а н и е , и (х, 0) =

 

 

 

(дг, 0) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Р

у

cos

 

 

х • sin

 

а<

 

 

 

4.

и (х,

t) -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

ря — положи-

 

ар

шт

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п= 1Рп

llh2

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельные корни

уравнения

р tg p =

/i-/.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. и (г,

0 = 2 с п (

-a2X„i

1

 

 

 

 

 

 

, —

 

 

7

sin

R

r<

где

[ln = ^

}’n R ’

 

 

 

П—I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

R2\i%+ (Rh-l)42

f

 

 

К

 

 

Cn~

R

’ R sp% + ( R h - l ) R h P

y

f M

sm

R

rd r'

pn —положительные

корни

уравнения

,

 

I1

 

tg p =

 

 

 

У к а з а н и е .

u — v/r

и

a?vrr =

 

 

 

 

 

 

405

6.

u(r,

 

v*

 

-

агАД

1

Фn (r),

где

 

 

 

t)= >

Cne

n

-

 

 

 

 

 

 

n = i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф« (r) =

(1 -

 

sin V'

г +

У kn cos j'A,„ r,

 

 

 

 

 

#2

 

 

 

 

 

 

^2

 

 

 

C„ = -,,,1 iF jj rf M фя (r) dr’

II фпII2 =

jj

(r)d r ,

 

 

 

 

Ri

 

 

 

 

 

 

я.

 

 

Ял —положительные корни

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

*„

i / w n

 

^2 (1 — hxRi) —(1 — /г2/?2)

 

7.

a) 7?Kp=

ЛЙ

 

Дкр =

0;

в) Дкр равно

наименьшему поло-

-— r ; б)

 

 

 

K Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жительному корню уравнения

(1 —hR) tg J y - R = \-^- R ,

 

8. Для краевых условий первого типа:

 

 

 

^я.р =

я 2( у +

£а),

Фя,р (д:, (/) =

sin

у

л:, sin- ^ г /

(л, р =

1, 2, ...).

В случае квадрата

(/ = £)

Яя,р =

j^2

 

p2),

2 =

Х2, х =

но

у (n2 +

 

_

,

.

. 2я

 

. я

 

_

. я

. 2я

у .

 

ф 1,2 (х ,

у) — sin у

x - s m - j- у Ф

Ф2, 1 = sin

- j х ■sin —

5л2

Таким образом, одному собственному значению %— ~г— соответ-

12

ствуют две линейно независимые собственные функции. Для краевых условий второго типа:

I2 л £2 />

-~п,Р\~,

i»—

i

K , p = ^ ( ^ j r + j t ) ,

Ф п , р ( х

y ) = c o s ~ x - z o s ^ y

(л, р — 0, 1, 2,

...);

 

третьего типа:

 

 

 

^п,р—№пЧ- &р>

 

ф п .р(х,У )= _

_

_

 

= 0 /"m cos V\LnxJr hi sin Y

Мтг*) ( У a p cos V~Up y + h3 sin K c ^ y ),

\in л ap являются положительными корнями уравнений

tg V p i = z J ! ± + M y~ P .t

=

h3hi—a

 

’

 

9.Для краевых условий первого типа:

т

 

_ Я2 ( п* ,

 

Р2 . 9®\

Х*'Р’Я -п \-р' + -& + т*)>

Ф п ,р ,д (х ,у , z) — sin - j - x - s m

- ^ - y

s m - ^ - z (n, p, q = l,2 , ...) ,

второго типа:

 

 

 

 

 

 

 

 

l

— я 2

f

I „

4 -

r

,,a

4 -

 

Л/t, p,

q— Л.

 

f

 

 

m2 r

 

 

 

 

 

 

/г2

 

406

fon.p.q (x■У<Z) = COS п л ■X ■cos ftp у ■cos ftq (n,p,q = 0, 1, 2,...);

третьего типа:

^n , p, q — Pn + a p + P?>

®л. p. 9 (*> !/• z)~

= (Кия cos (/pn лг + /гх sin Kpn *) (Vap cos K ty «/+ Л3 sin \г6Гру) X

X (К Pg cos Vfiq 2 -J-/г5 sin K P,*). p„, a p, p9—положительные корни уравнений

,

, —(hi~\-h2) V u

,

,

—(Л34 -h ,) jM

 

 

 

■ l e | / a t -

m T - .

•

 

 

 

 

 

t g / p m = - ( ^ + М / Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M e - P

 

 

:2

 

 

 

10.

a)

 

=

 

 

 

= а я

j /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

арл, р 1г д

 

 

 

 

 

 

 

(n, p,

9 = 1, 2, ...);

 

 

б) ш„,р=

е

\xn,p — корень

номера

p

уравнения

 

+ 1/2

 

^/г +

1/2 (и) =

°-

/ ? - радиус сферы,

п =

0, 1, 2, . . . ;

/о = 1 ,2 ........ Здесь

У* (г)—бесселевы

функции

к-го

порядка (см.

гл.

XIV).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

и (х, t) ■-

Ы

У (-

 

2lg

 

 

 

2п+ \

/

,

 

 

 

ап2

 

 

 

 

cos— 2j — at +

 

 

 

 

 

 

L b\па (2п-\- 1)®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v0

п = о

 

 

 

 

) .

2п + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sm

2" o t 1

 

п х — ~

■ ( - * - lx .

 

 

 

 

 

 

> sin

-----

----

 

 

 

(2n+lf

 

 

21

00

J

 

21

 

 

а2 \ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(— 1)л ■

2п + 1

 

 

 

и (x, t) = y -|- *-

8/У у

 

 

 

12.

£ 5 я 2

^

------- :— Ч1П

21

 

пх X

 

 

(2я + 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п= 0

 

 

 

 

 

 

 

2п-\-1 nat.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

У к а з а н и е

к задачам

12—23.

 

Искать

решение в виде суммы

двух функций

и = о (х) + ш (х,

t),

где v (х)

удовлетворяет уравнению

и краевым условиям

рассматриваемой неоднородной краевой задачи,

a

to—решение

соответствующей

однородной

краевой

задачи; v (х)

описывает стационарный режим, w — отклонение от него.

13. и (х,

 

 

«

с пе

—(osK

h\t

. ЯП

где

t) = u3 + v (х) + 2 ]

V

’

' sm —j х,

 

 

 

л= 1

 

 

 

 

v(x) =

 

 

(«х— и3) sh

^ ^

0 — *) + (“г— Из) sh

х

sh l Vh

 

 

 

 

 

 

 

 

л2п2

I

 

 

 

 

 

К =

I { f ( i ) - v ( i ) - u 3} s m i d s .

 

1 ~

 

 

 

 

 

о

407

Смотрите также файлы