ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 119
Скачиваний: 1
Иными словами, если мы используем для представления произвольного сигнала подпространство М п, натянутое на первые п элементов пол ной ортонормальной системы, то норма погрешности может быть сде лана сколь угодно малой путем выбора достаточно большого п. Правда, п0 зависит от х, так что нельзя лимитировать ошибку равномерно для всех х. Однако с практической точки зрения это приближение имеет ряд преимуществ, обусловивших широкое его применение. Во-первых, существует много полных ортонормальных систем, которые хорошо известны и приведены в справочниках. Во-вторых, ряд преимуществ
дает применение ортонормального базиса |
в М п. Главное из них со |
стоит в том, что скалярные произведения |
в Мп и в Сп совпадают |
[см. (2.49)1. В-третьих, если известна проекция х на М п, то для опре деления проекции х на М п+1 нет необходимости проводить вычисления заново, достаточно определить лишь (х, <рп+1); это свойство является следствием того, что ортонормальный базис является самосопряжен ным, т. е. совпадает с взаимным. В результате, значительно экономится объем расчетов, если после оценки ошибки приходится принять реше ние об увеличении размерности пространства. Действительно, при ортонормальном базисе мы обычно рассматриваем ортогональную про екцию как совокупность частных проекций, каждая из которых про изводится на одномерное пространство, натянутое на г-й базисный век тор, причем такая проекция непосредственно дает i-й член разложения.
В рассматриваемых ниже примерах большинство базисов получено из систем достаточно простых функций с помощью процедуры Грама — Шмидта (2.50 а и б), применение которой в силу ее итеративного ха рактера не ограничивается конечными системами. Продолжая обсуж дение, начатое в предыдущем параграфе, легко дать геометрическую интерпретацию процедуры Грама — Шмидта. На каждом t'-м шаге должна быть увеличена размерность пространства, натянутого на ор тонормальный базис. Выберем новую функцию, не лежащую в Мг_г, и вычтем ее проекцию на Мг_х. В результате получается функция, ортогональная к Мг-_х, и она после нормализации используется в ка честве базисной функции в Л4г.
Упражнение 3.4. Для экспоненциальных базисных функций, упорядочен ных, как в примере 3.2, получить первые пять элементов ортонормального ба зиса с помощью процедуры Грама—Шмидта. Результаты могут быть проведены в [6, стр. 463].
Упражнение 3.5. Пусть {(рц |
г = 1, 2, ... } |
— полная ортонормальная |
система в L2 (Т). Для любого х |
и любого у из |
L2 (Т) проверить равенство |
Парсеваля |
ОО |
|
|
|
(х . У ) = 2 (х. Ф0 (Фг. у)- i —1
Это более общее соотношение, чем (3.23).
При определении базисных функций для представления сигнала часто используют понятие нормы с весом. При оценке погрешности пред ставления бывает желательным обратить особое внимание на некото рый участок области определения функции. Тогда интеграл
|
\w{t)\x{t)— xn (t)\*dt |
(3.25) |
|
56 |
т |
||
|
где w (t) — подходящая неотрицательная функция, определенная на Т, может быть лучшей мерой погрешности приближения, чем норма || х — х„|. Такой подход приводит к новому определению нормы в L2(T). Действительно, если w (t) — вещественная положительная функция (за исключением, может быть, счетного множества точек на Т), то, как легко показать, интеграл
(х. У)ю= $ w (t) х (t) у* {t) dt |
(3.26) |
т |
|
удовлетворяет условиям (2.28) для скалярного произведения. Можно также сказать, что система функций {<рг} — ортонормальна с ве сом w (/), если {ф;, фДш = Мы не сделали раньше такого обобще ния определения скалярного произведения только потому, что оно приводит лишь к несложному видоизменению базисных функций
Фг (t)= Yw(t)4i(t)\ i = 1, 2 , , |
(3.27) |
где {фг} — ортонормальны в обычном смысле, а |
{фг} — с весом |
W (О- |
|
3.3.ПРИМЕРЫ ПОЛНЫХ ОРТОНОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Вэтом параграфе приведен ряд употребительных ортонормальных систем для заданного интервала и заданной весовой функции w (О- Полнота и ортогональность этих систем доказываются во многих источ никах [3—5].
Комплексные гармонические функции
Для Т = [—1, +1] и w (t) = |
1 комплексные гармонические функ |
ции ( е ^ ; п = 0, + 1, ± 2 , ...} |
ортогональны; следовательно, для |
получения ортонормальной системы необходимо только выполнить их нормализацию. Разложение
* 0 - 4 = 2 (3.28)
= j* X (t) e-i <я«) dt
—I
есть известное представление рядом Фурье функций, ограниченной длительности на отрезке [—1, 1], а также периодических с периодом, равным 2. Заметим, что это представление применимо для функций, заданных на любом конечном интервале, так как произвольный интер вал можно отобразить в [—1, 1] выбором подходящего масштаба по оси времени.
57
Полиномы, Лежандра
Для Т = [—1, +1] и w (t) = 1 можно получить другую ортонормальную систему., применив процедуру Грама — Шмидта к последо вательности (1, t, Р, Р, ...}. В результате получаются нормированные полиномы:
<р.М = ^ ; |
= |
ъ ( 0 = \ / т ( 4 <!- т )' |
где {Рп (/)} — полиномы Лежандра. Эти |
полиномы можно |
также |
считать по формуле |
|
|
РпЦ)= — |
\)п |
(3.30) |
2Пп\ dtn |
|
|
или по рекуррентной формуле |
|
|
пРп (/) = (2п - 1) tPn-г ( t ) - ( n - 1) Рп-2 (t). |
(3.31) |
|
Все п нулей полинома Рп (t) вещественны и лежат внутри интервала [—1, 1]. Упоминавшееся преобразование любого конечного интервала в [—1, 1] применимо и здесь.
Полиномы Чебышева
_1 |
|
Для Т — [—1, +1] и W (0 = [1 — Р] 2 полиномы |
|
Фп(*) = 2»(2я)-*/2Г„(0; « = 0,1,2,... |
(3.32) |
образуют ортонормальную систему. Здесь Тп — полиномы Чебышева, задаваемые следующим образом:
Т0(^)=1; Тп(t) = |
cos (п arc cos t)\ |
1. |
(3.33) |
Из (3.33) следует важное свойство: из всех полиномов п-й степени, имеющих коэффициент при tn, равный 1, полином Чебышева Тп (t) наименее уклоняется от нуля на интервале [—1,11*’.
*> Доказательство этого утверждения вытекает из следующего. В интерва ле [—1, 1] значения arc cos t вещественны, а функция Qn (t) = cos (п arc cos t)
—полином степени n — имеет колебательный характер, изменяясь от +1 до —1
ип раз принимая нулевые значения. Пусть существует другой полином Рп (t)
степени п, значения которого в том же интервале меньше (по модулю), чем Qn(t), т. е. не выходят за область [+1, —1]. Как легко видеть, график Рп (t) должен
пересекаться с графиком |
Qn (t) минимум в п точках. Следовательно, полином |
Рп (t) совпадает с Qn (t). |
— Прим. ред. |
58
Для « ^ 3 Тп (/) удовлетворяют рекуррентной формуле |
|
||
|
Tn(t) = tTn^ ( t ) - ± - T n_2(t). |
(3.34) |
|
Функции Лагерра |
|
|
|
Для Т — [0, |
оо) и w (t) — |
полиномы |
|
|
4>n( t ) ^ ~ L n(ty, п = °, 1,2, ... |
(3.35) |
|
|
п\ |
|
|
Единичный |
Однополюсные разодращающие звенья |
|
|
импульс |
____________________________ л_________________________ |
|
|
Рис. 3.4. Формирование функций Лагерра и их линейных комбинаций.
образуют ортонормальную систему. Здесь Ln — полиномы Лагерра, задаваемые формулой
|
= |
|
(3.36) |
Они имеют п вещественных нулей на [0, оо) |
и удовлетворяют рекур |
||
рентному соотношению |
|
|
|
Ln (t) = (2п- 1 - t ) L„_x (0 —(«— l)2 Ln- 2 (0- |
(3-37) |
||
Функции Лагерра |
e—>72 |
|
|
|
|
|
|
|
Фгг (t) = —— Ln (t) |
|
|
|
n\ |
|
|
ортонормальны на |
[0, оо) с единичным |
весом, они |
могут |
также быть получены |
применением процедуры Грама — Шмидта к |
||
{//ге-7/2; я — о, 1,2,...}. Функции Лагерра играют особую роль в при менениях, поскольку они могут быть практически реализованы как импульсные реакции сравнительно простых физических цепей конеч ного порядка [6].
59
Можно показать, что функции |
|
|
fn (t) = Фп (2pt) = |
(2p/); t> 0, |
(3.38) |
|
n\ |
|
допускающие за счет вещественного положительного параметра р удобное временное масштабирование, имеют преобразование Лапласа вида
Fn(s) |
(s— p)n |
(3.39) |
|
(S+p)"+1 |
|||
|
|
Из этого выражения следует, что п-я функция Лагерра есть импульс ная реакция цепочки, один каскад которой имеет передаточную функ цию l/(s + р), а п других — (s — p)/(s + р), как показано на рис. 3.4. Можно показать, что все последние каскады являются фазовращате лями, не изменяющими энергию сигнала. Сняв сигналы с отводов це почки в узлах и суммируя их с некоторыми весами, получаем «трансвер сальный» фильтр, импульсная реакция которого есть произвольная линейная комбинация функций Лагерра. В [6] приведена схема, им пульсные реакции которой реализуют другую ортонормальную си стему.
Функции Лежандра
Подстановка т = 1 — 2e~2pt преобразует интервал [—1, 1] для величины т в интервал [0, оо) для величины t, поэтому из полиномов Лежандра можно получить еще одну систему функций, ортонормальных на [0, оо) (р — произвольный действительный положительный параметр). Функции Лежандра
пп (t) = [2р (2п + 1)]>/2 e~pt Рп(1 —2е-*Р') |
(3.40) |
образуют ортонормальную систему на [0, оо) с единичным весом. Пре образования Лапласа от этих функций имеют полюсы при s = — р,
— 3р, —5 р, ...
Функции Чебышева
Преобразованием т = |
1 |
— 2e~2pt из нолиномов |
Чебышева полу |
||
чаем функции Чебышева |
|
|
|
|
|
рпа) = 2 |
- ^ |
1/2 Тп (1 - 2 е - 2^), |
|
(3.41) |
|
которые ортонормальны |
с |
весом |
w (t) = (e~2pt — |
1)-‘Л на |
[0, оо). |
Преобразования Лапласа |
от них |
имеют полюсы при s = 0, |
—2 р, |
||
—4 р, — 6р, ... |
|
|
|
|
|
Теория ортонормальных на [0, оо) систем функций, задаваемых положением нулей и полюсов их преобразования Лапласа, рассмот рена более полно в [71 и [8].
во