ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 1
Функции Эрмита
Для Т — (—оо, оо) и w (f) = е~р полиномы
Ф„ (t) = (2« н1 У я ) - 1/2 Нп(0, п = 0, |
1,2 ,... |
(3.42) |
образуют ортонормальную систему. Нп — это |
полиномы |
Эрмита, |
которые задаются в виде |
|
|
Я Л 0 Н - 1 ) " е ^ ( е - Я |
|
(3.43) |
или рекуррентной формулой |
|
|
Нп (t) = 2 Ш п . 1 (/) — 2 ( л - 1) Я„_а (0- |
(3.44) |
|
Функции Эрмита |
|
|
яМ*)=(2"л! / Й Г 1/2 e~t!l2Hn(t) |
(3.45) |
|
ортонормальны с единичным весом на (— оо, оо); они могут также быть получены применением процедуры Грама — Шмидта к последователь ности {lne~i!!/2; п = 0, 1, 2, ...}.
Функции Уолша
Для Т — [0, 1] и w (0 = 1 можно построить полную ортонормальную систему функции типа «прямоугольных волн». Для определения
таких функций удобно использовать два индекса. Функции <p„A) (О, называемые функциями Уолша [9—11], определяются следующим об разом:
Ф0(0 = 1; 0 < * < 1 ;
1; 0 < / <
Фх ( 0 :
- 1 :
1; |
< / < 1, |
фУ> (0 =
, + < , < *
ф < « ф ,
Фi2)(t) =
(24—1) |
ф™’ (20; о < * < - ± - |
|
(3.46) |
||
Фт+1 ОФ |
||
|
(-1 )* + 1ф!») (2 /-1 ); |
|
|
6i |
где т = 1, 2, 3, ... и k = \ , 2, 3, .... 2т~ 1.
Эта система весьма важна для практики, поскольку функции ку сочно-постоянны и принимают только два значения (+1 и —1). Подоб ные сигналы легко могут быть получены с помощью двоичных логи-
¥ 2 ¥
Рис. 3.5. Функции Уолша, пронумерованные в соответствии с количеством перемен знака на интервале 0 < ^< 1 .
ческих схем. Перемножение таких сигналов для получения, скажем, скалярного произведения производится очень просто, с помощью ключа, изменяющего полярность и включаемого в нужные моменты
времени. Заметим, что функции ц>т(т~ !)) {t) соответствуют обычным прямоугольным волнам. Мы можем перейти к соответствующей одноиндексной системе, упорядочив функции (3.46) так, чтобы п-я функ ция п раз пересекала нулевой уровень на интервале 0 < t < 1 (т. е. п раз меняла знак). Это достигается при следующих обозначениях:
®о (0 = Фо |
(0. %(0 = Фх (0. |
(0 = фт( (0, |
(3.47) |
причем п = 2т~ 1 + |
k — 1 (рис. 3.5). |
|
|
3.4. ОПЕРАТОР РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛА В АППАРАТУРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ
Чтобы завершить процесс отыскания приближенного численного представления для произвольного сигнала конечной энергии, выберем некоторую систему базисных функций {<рг} (и взаимный базис {0*}), и установим эквивалентность
|
П |
|
х ~ |
2 а гф;> |
(3.48а) |
где |
г = 1 |
|
|
|
|
а,- - hi (х) = |
(х>0j); *' = 1.2,..., 11. |
(3.486) |
Компонента!
Рис. 3.6. Обобщенный анализатор спектра.
По аналогии с обычным преобразованием Фурье будем рассматри вать (3.48) как пару преобразований. В (3.48 а) сигнал представлен определенной линейной комбинацией {<р;}, а формула (3.48 б) дает линейное правило для отыскания разложения сигнала на выбранные компоненты. Последнюю операцию можно рассматривать как обрат ную по отношению к разложению, и именно ее мы хотим реализовать с помощью соответствующих физических устройств. Используя метод реализации линейных функционалов, показанный на рис. 2.7, получаем устройство, которое является обобщением лабораторного прибора — анализатора спектра (рис. 3.6). Эту схему можно выполнить иначе, заменив ячейки «перемножитель — интегратор» на ячейки «квантова тель — фильтр», что соответствует рис. 2.8.
Во многих случаях, генерируя в приборе «подходящие» колебания, не удается точно сформировать нужную систему функций {0г}. На пример, в некоторых системах обработки оптических сигналов опера-
63
ция умножения выполняется путем освещения через материал с раз ной степенью прозрачности.
В таких условиях желательно, чтобы функции, на которые умно жается сигнал, были неотрицательными, в частности может использо ваться система вещественных экспоненциальных функций. В качестве другого примера приведем случай, когда «эталонные» функции должны быть порогового типа («да» — «нет»), чтобы умножение могло произ водиться с помощью соответствующего ключа. Может случиться, что у проектировщика системы обработки нет никакого выбора и нужно использовать заданные функции. Это приводит к следующей задаче.
Имеется |
набор устройств, реализующих |
линейные функционалы |
{fUl, fUt, |
•••> fuml Как наилучшим образом |
использовать эти устрой |
ства, чтобы получить произвольный функционал /д? Для ответа на этот вопрос воспользуемся обсуждавшимся в § 2.6 соответствием между сигналами и линейными функционалами.
Задача состоит в том, чтобы найти наилучшее (в смысле минимума расстояния в сопряженном пространстве) приближение искомого функ
ционала путем ортогонального проектирования /е £ |
[L2 (Т)]* на под |
||
пространство из [L2 |
(Т)]*, натянутое на |
fu„ fu„ ..., fum}. |
|
Приближение /е |
линейной комбинацией |
{/„.} |
реализуется си |
стемой параллельных цепей, рассмотренных в § 2.6; на выходе каждой из цепей имеется звено, регулирующее коэффициент усиления, как показано на рис. 3.7. Коэффициенты усиления устанавливаются так,
|
ТП |
|
|
чтобы минимизировать ||/0 — |
ah |
||; они определяются через ска- |
|
|
k=\ |
пространстве, согласно |
(2.61). |
лярные произведения в сопряженном |
|||
Применяя ортогональное проектирование, имеем |
|
||
|
ТП |
|
|
|
А=1 |
й |
(3.49а) |
где |
|
||
|
|
|
|
ah = |
(fe,frft) = |
(vft,0). |
(3.496) |
При этом {vft; k = 1, 2, ..., m) есть взаимный базис в подпространстве Nm, натянутом на {ufe; k = 1,2, ..., m}. Нетрудно показать, что такая аппроксимация для /0 в точности соответствует минимуму расстояния до 0, получаемому при проектировании на Nm■Учитывая соответствие
норм, имеем для любого сигнала х единичной энергии из L2 |
(Т): |
||
е - 2 atUk |
/е — 2 |
ahfu = e=>- |
|
k=i |
k=i |
|
|
Ы * )— 2 |
%/«fe(x) |
;С е. |
(3.50) |
*=i |
й |
|
|
Можно сказать также, что 100 г есть наибольшая ошибка отображения в процентах по отношению к |[ х ||. Отсюда прямо вытекает схема реали зации представления сигнала с помощью имеющихся конкретных устройств. Мы хотим представить сигнал х точкой в пространствеМ п, натянутом на {<рг; г = 1, 2, ..., п}\ можем же мы вычислять только
64
скалярные произведения (х, иг), где (и,; i = 1, 2, |
т} есть базис |
ВN т,’
Всоответствии с (3.49) устройство, в котором реализуется точная
верхняя грань ошибки определения компонент, должно давать
т |
|
|
|
|
« г= 2 |
а, |
й |
(х, и*); *' = 1 ,2 ,...,« , |
(3.51) |
£=1 |
|
|
|
где
aih= (Vft, 6;).
Рис. 3.7. Аппроксимация в сопряженном пространстве; реализация fe (х) = = (х, 0) с помощью заданной системы функционалов.
Анализатор формы |
сигнала должен |
содержать, таким образом, |
|||
звенья, реализующие заданные линейные |
функционалы, |
и блок взве |
|||
шенного суммирования, |
описываемый |
матрицей |
А |
с элементами |
|
{aik} из (3.51). Такая схема показана на рис. 3.8. |
|
|
|||
Рис. 3.9 условно иллюстрирует приближение желаемого пред |
|||||
ставления. Вначале находится ортогональная |
проекция х на N m, |
||||
представимая /п-мерным вектором р = {рь р2, |
..., |
рт }, |
а затем полу |
||
ченная в Nm точка ортогонально проектируется на М п. Получается представление х в М п, аппроксимирующее желаемое представление х,
которое получилось бы при прямом ортогональном проектировании х
на М п. Приближенное представление от = |
{а1( а 2....... ап} получается |
||
при умножении матрицы А на вектор р — представление |
х в Nm, по |
||
отношению к базису (v;; / |
== 1, 2, ..., т}: |
|
|
«1 |
а11 а 12 • • • а 1т |
“ Р Г |
|
а 2 = |
а 21 а 22 ■■■а 2т |
р2 |
(3.52) |
|
(. |
|
|
|
|
___ |
|
|
|
|
й |
_O nl ^ п 2 - ^ n m _ |
|
|
|
1 з |
|
65 |
|
3 З а л . S27 |
|
|
|