Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Для того чтобы показать, что ||х — х || — минимальная

норма из всех

|| х — х | | , рассмотрим произвольный вектор х 6 М п:

■ 1х х р =! (х

х) (х х) ||2 = (х х, х —х) —

—(х—X, X —х) —(х —X, X —х) + (х—X, X —х).

Поскольку х — х £ М п,

средние слагаемые пропадают, и мы имеем

||х - х ||2 = ||х —i f + «x —i f .

(3.11)

h f = ||x |M )ip .

(3-12)

Теперь ясно, что отношения эквивалентности,

соответствующие

разбиению L2 (Т) согласно (3.8), могут быть записаны следующим об­

разом:

х~у=*>(х, Ф{) — (у, <р4); i ■—1, 2,...,

п,

(3.13)

х ~ у = ^ х —увМ ,

*

(3-14)

где М — {х; (х, х) = О для всех х £ Мп}.

Легко показать,

что М

x = x-fz; х£7Ип, z £ М, (х, z) = 0.

(3.15)

Итак, естественно рассматривать L2 (Г) как прямую сумму подпрост­

ранств М п и М, т. е. L2 (Т) = М п +

М. Заметим,

что единственным

общим элементом М п и М является нулевой вектор.

Все эти понятия

графически поясняются на рис. 3.1.

*

Упражнение 3.2.^Прямые суммы и проекции. Можно сказать, что линейное

пространство L есть сумма подпространств

М и N, т. е. L = М + N, в том

что разложение г = х + у единственно тогда и только тогда,

когда М f) jV =

= {0}, т. е. если общим для М и N вектором является только нулевой вектор.

В этом случае говорят, что L есть прямая сумма М и N, т. е.

L =

М 0

N. За­

метьте, что М и N не обязательно ортогональны.

Если L = М ф

N и z = х +

+ у — любой вектор из L, то х £ М называется

проекцией

z на

М

вдоль N

(рис. 3.2). Пусть {ср;; i = I,

2, ... >

является базисом

в

L,

и пусть {в*;

i =

=

1, 2...} есть взаимный базис, и,

наконец,

пусть М натянуто на

базис

{<р;;

i =

1, 2, ..., п) и

N натянуто на базис

i = п +

1,

п +

2, ...}.

Показать,

что проекция z на М вдоль N может быть представлена в виде

П

Х =

2 (z, 90<Pi.

1, 2, ..., n}

i—1

взаимным базисом в М.

причем {0j; i =

не обязательно

является

Пример

3.1. Пусть

М 3 есть подпространство из

L2

(Т), Т =

= [0, оо], натянутое на

действительные экспоненциальные функции

{е~*, e~2t, е-3 /}. Пусть

требуется найти

наилучшее

приближение

в М з для прямоугольного импульса: х (t) =

1 для 0 ^

t ^

х/2; л: (() =

= 0 для t >

V2. Можно записать

,,

со

(фь>

Фт) = ^е-(*+"г) {dt= U(k + m)\ k, m= 1,

2,

3.

о

- 1 1 1 ~

G =

72

—240

180

—240

900

—720

180

—720

600

Согласно (3.5) в'заимный баЗис есть:

01(/) = 72е-<—240e~w+

180e~3^.

02 (t) =•—240е~' + 900е-«—720е-3',

03 (0 = 180е-*—720е-2^ + 600е-3<

i/г

( « 1 = —0,912,

«г = (х, 6i)= ^

ос2 = 3,57,

0

1 « з= — 1.36,

следовательно.

х (t) = 0,912е_/ -f 3,57e_2/— 1,36e-3'

и

« = {—0,912; 3,57; — 1,36}

Приближение

иллюстрирует­

ся на рис. 3.3.

полу­

Пример

3.2. Для

чения

взаимного

базиса не

всегда нужно находить обрат­

ную матрицу, что очень труд­

но при больших п.

Развивая

предыдущий пример, мы про­

демонстрируем

способ

оты­

скания

взаимного базиса для

Мп,

натянутого

на

(e~kt;

k =

1,2,

...,

п }

при

Т —

= [0, оо3и произвольного п. Нам нужны такие 0т , что

(Ф*. 0rn) =

S е-« 0m (t) dt = Qm(s)\s=k= 8hm,

(3.16)

о

где 0 т (s) есть преобразование Лапласа от 0m (t)

Поскольку 0m (t)

в общем случае есть линейная комбинация

{cpft; &=

1, 2,

..., п}, при

любом m ©m

(s) есть рациональная функция s с полюсами в точках

s =

— 1, —2,

..., —п. С другой стороны, из (3.16) следует, что ©m(s)

обращается в нуль в точках s = 1, 2, 3, ...,

п, исключая точку s = m.

Рис. 3.3.

Аппроксимация

прямоугольного импульса

х с

помощью

*> Для функций

времени,

определенных на Т — [0,

оо),

преобразование

ОО

Лапласа имеет

вид:

х (s) = \

х (t) e~~st dt, где s — комплексная переменная.

о

через их нули

Это преобразование применяется для представления сигналов

Мы предполагаем,

что читатель знаком с этими методами. Для справок может

быть использована

гл. 9 в [1].

•*

em(s)=

Кт П (S-A)

•

(3 .17)

^ -------

са, п)= п

(j—k)=>Km

( - 1 ) " C ( - m , п)

(3.18)

k=\.

С (т, п)

Ьф}

П

0т (0 = 2

Уml фДО.

(3.19)

l=

1

где

YmZ (S 0 ©m (®) |s= —/

С (—т, п) С (—I, п)

(1-\-т)С (т, п)С(1, п)

Упражнение 3.3. Применяя (3.19),

найти 0; (t) примера

3.1.

угодно близкую аппроксимацию для любого х £ L2

(Г), если выбрать п

достаточно большим

=2( х , фг)срг.

(3.20)

/= 1

Поэтому, при любом п

2 |( х ,ф г)|2< ||х ||2.

(3.21)

г=I

любого х ( L2

(Т). Из

неравенства

(3.21) видно также,

что {х„}

в (3.20) есть последовательность Коши, так как

для любого е > 0

при достаточно большом п0имеем

I I

—хт ||2 =

2

|(х, фг)|3< 82; п > т > п 0

(3.22)

г'=т+1

и, поскольку

L2

(Т) — полное пространство,

последовательность

{хп} сходится к некоторой точке в L2 (Т)

. Последовательность сходится

к х, если {фг;

i =

1, 2,

...}

есть полная ортонормальная система.

У 2W sin 2nW [t— {H2W)\

i —0, + 1, + 2,...

2nW [t~(ii2W)}

:

оо

2 |(х, фг)|2 = ||х ||2 для любого х £ L2(T),

(3.23)

/= 1

(х,ф;)фг < е при п > я 0.

(3.24)