ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 1
максимальной амплитудой, и т. д. данного сигнала по сравнению с другими.
Общий подход, который и интуитивно кажется подходящим, для обозначения различия между двумя элементами множества состоит в том, что каждой паре элементов ставится в соответствие действитель ное положительное число, которое трактуется как расстояние между элементами, при этом само множество приобретает геометрические свойства. Множество с подходящим образом определенным расстоя нием представляет собой пространство сигналов.
Для определения расстояния необходим функционал, который ото бражает все пары элементов множества на действительную ось. Такой функционал d: (х, у} -> R называется метрикой, если он обладает
следующими свойствами: |
|
|
||
а) d (х, у) |
0 и d (х, у) |
= 0, только если х — у, |
(2.1) |
|
б) d |
(х, у)= d (у, х) (симметрия), |
|||
в) d |
(х, z) s^d (х, у) + |
d (у, г) (неравенство треугольника). |
|
|
Эти требования являются просто формализацией свойств, инту итивно связываемых с расстоянием: а) расстояние — это неотрицатель ная величина, б) расстояние от х до у равно расстоянию от у до х, в) длина одной стороны треугольника не может превосходить сумму длин двух других (здесь мы геометрически представляем элементы х, у и z как вершины треугольника).
Множество ЗС с метрикой d называется метрическим. пространст вом {ЗС, d). Следует заметить, что две разные метрики, определенные на одном и том же множестве элементов, образуют разные метрические пространства.
Пример 2.1. Действительная ось R, включающая множество всех действительных чисел, есть метрическое пространство с метрикой
d(x,y) = |х — у \ ; х, у 6 R- |
(2.2) |
Это обычная метрика на R. Полезно представлять себе другие метри ческие пространства как обобщение этого знакомого примера.
Пример 2.2. На базе множества Rn упорядоченных последователь ностей п действительных чисел (вектор-строк из п чисел) можно обра
зовать различные метрические пространства. |
Если мы положим х = |
|||||
= К , а 2, ..., |
ап} И у = |
{Pi, р2, ..., р„}, |
то следующие функционалы |
|||
дают примеры возможных метрик: |
|
|
|
|||
а) |
йг(х, |
у )= |
S |
М |
|
|
б) |
d2{x, |
У )= |
Ъ | —Рг| |
1/2 |
(2.3) |
|
|
|
|||||
|
|
|
_i~ 1 |
|
|
|
в) |
d3(x, |
у) = max {| at—рг | |
1= |
1, 2, ..., я}. |
||
Эти метрики могут быть использованы и на множестве Сп после довательностей комплексных п чисел; при этом модуль комплексного числа выражается как корень квадратный из суммы квадратов дей-
27
ствительной и мнимой частей, т. е. если а = а + jb, то |а | = (а2 + + Ь2)'1к Все определения также могут быть распространены на беско нечные последовательности; тогда задаются метрики на R°° и С°°. В этом случае в метрике (2.3 в) maximum заменяется на supremum —
точную верхнюю грань множества {| аь — |Зг | ; i = |
1,2, ...} и записы |
вается так: |
|
d3 (х, у) — sup { | а г — | ; i =-- 1, 2, |
...}. |
Метрика (2.36) соответствует обычному пониманию расстояния в трех мерном пространстве и называется евклидовой метрикой.
|
Информацион I |
S |
||||
|
ные |
|
|
I t § t |
||
|
разряды |
I g'S |
||||
|
|
°s |
°v |
I |
°s |
|
х , : |
0 |
О |
0 |
I |
о |
|
X.г : |
О О |
1 |
I |
/ |
||
x j : |
0 |
1 |
О II |
1 |
||
х¥ : |
О |
1 |
1 |
I |
о |
|
xs ' |
1 |
О О |
! ' |
|||
xs : |
1 |
0 |
1 |
|||
I |
о |
|||||
х? : |
1 |
1 |
0 |
\» |
||
ха : |
1 |
1 |
1 |
I |
7 |
|
+0.3) modZ
Рис. 2.1. Система кодовых слов с минимальным расстоянием, равным 2.
|
’ Информацион |
Провероч~ |
|||||
|
ные |
|
|
|
ные |
|
|
|
разряды |
|
разряды |
||||
|
' ОС |
об |
ОС |
ОС ’ |
f |
X |
ос7' |
|
as |
|
|||||
|
1 |
Z |
3 |
Ч |
|
||
х1 • |
0 |
0 |
0 |
0 |
О О О |
||
Хг ' |
О |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Хз : |
О |
О 1 |
О |
О |
1 |
1 |
|
х¥ : |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
О О |
|
x s ; |
О 1 |
0 |
О |
1 |
0 |
1 |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
Xfsl |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
ct-5=(a1+аг +a¥) mod 2, <x6=fxf+a3+<t¥) mod2, a 7={az+a3+cUf.] modZ
Рис. 2.2. Система кодовых слов с ми нимальным расстоянием, равным 3.
Пример 2.3. В системах связи, в которых информация передается в виде двоичных символов (0 или 1), сообщение обычно является не которой последовательностью кодовых слов фиксированной длины, скажем, n-значных. Кодовые слова—это наборы п чисел, принимающих значение 0 или 1. Из множества 2п различных слов может быть обра зовано метрическое пространство путем задания расстояния между любой парой слов, равного числу несовпадающих символов. Это эк вивалентно суммированию по модулю 2 символов во всех позициях
d(x, |
у)= 2 [(«г +Рг) mod 2]. |
(2.4) |
|
i= 1 |
|
Эта метрика называется |
расстоянием по Хеммингу для двоичных |
слов |
и употребляется для изучения кодов с обнаружением ошибок и коррек тирующих кодов [1, 2]. Пример кода с обнаружением ошибок показан на рис. 2.1, где даны восемь кодовых слов, выбранных из шестнадцати возможных таким образом, чтобы минимальное расстояние между лю-
28
бой парой слов было равно 2. Это достигается путем добавления к трем информационным разрядам разряда проверки на четность, так чтобы каждое слово содержало четное число единиц. Поскольку минимальное расстояние между словами равно 2, появление ошибки в одном раз ряде может быть обнаружено.
Добавив еще разряды проверки на четность, получим множество кодовых слов с минимальным расстоянием, равным 3. В этом случае получается корректирующий код, так как появление одной ошибки при передаче приводит к получению кода, который ближе к правиль ному коду, чем ко всем остальным. Пример семиразрядного кода, име ющего четыре информационных разряда и три разряда проверки на четность, приведен на рис. 2.2.
Пример 2.4. Для произвольного множества действительных или комплексных функций времени, заданных на определенном интервале
Т = {t\ а ^ |
t ^ |
6}, |
могут быть определены метрики, |
аналогичные |
примеру 2.2: |
|
|
|
|
а) dx (х,у) = 1 \ х |
(0 — у (0 | dt, |
|
||
б) d2 (х, у) = t J | * ( Q - y ( 0 | W 4 |
(2-5) |
|||
в) d3 (х, |
у) |
т |
|
|
= sup {| х (0 — у (О I; t 6 Т). |
|
|||
Для метрик d-L и d2 характерна известная трудность. Если х и у отличаются только в одной точке, например в точке t0, то х (t0) Ф Ф у (to), to 6 Т, но d (х, у) = 0 (см. рис. 1.10). Мы преодолеем эту труд ность, если будем трактовать функции, отличающиеся лишь на счетном множестве точек интервала Т, как одну точку метрического простран ства. В этом случае мы говорим, что х н у равны почти всюду.
Пример 2.5. Для произвольного множества SC метрика может быть определена с помощью функции d, такой, что
(° для |
х = у, |
|
d(x,-y) = L |
для |
(2.6) |
|
Хфу. |
|
Хотя эта метрика тривиальна, она иногда полезна для доказательства общих теорем и для построения противоречащих примеров (поскольку она применима к любому множеству).
Упражнение 2.1 |
Если |
условия, определяющие |
метрику (2.1), |
сделать |
менее жесткими, т. е. |
d (х, |
у) = 0, если х = у, |
|
|
а) d(x, у) > 0 и |
|
|
||
б) d (х, у) = d (у, х), |
|
|
|
|
в) d (х, z) < d (х, у) + d (у, г), |
SC, называется |
псевдо |
||
то функционал d (х, у), определенный на множестве |
||||
метрикой [3]. Псевдометрика отличается от метрики только тем, что расстояние может быть равно нулю для х ф у . Показать, что в ЗС имет место отношение эквивалентности, обусловленное равенством нулю псевдометрики:
X ~ у ==>- d (х, у) = 0.
Показать, что множество множеств эквивалентности, порождаемых этим отно шением эквивалентности, можно преобразовать в метрическое пространство. Объяснить смысл отношения «равны почти всюду».
29
Упражнение 2.2. Пусть f, : х -> R — произвольный функционал, опреде ленный на 90. Показать, что
|
d (х, у) = | f (х) — ft (У) I |
|
||
есть псевдометрика. |
(90, d) |
метрическое |
пространство и пусть |
|
Упражнение |
2.3. Пусть |
|||
|
d (х , у)-. |
d (х, у) |
, х, у £ 90 |
|
|
|
1 +d(x, у)' |
|
|
Показать, что (90, |
d) есть метрическое пространство. |
Какими существенными |
||
свойствами оно обладает? |
|
|
|
|
2.2.СХОДИМОСТЬ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Взадачах анализа мы часто имеем дело с бесконечными последо вательностями элементов {хг, х2, х 3, ...}, выбранными из некоторого множества 30. Понятие расстояния в метрическом пространстве поз воляет анализировать важное свойство последовательностей, назы ваемое сходимостью.
Мы говорим, что последовательность |
{хп; хп £30, п = |
1, 2, ...} |
сходится, если существует такое х £ 30, что для любого в > |
О имеется |
|
целое положительное п0, такое, что |
|
|
п > п0 =>■d (хп, х) < |
е. |
|
Это часто записывают так: lim хп = х. |
|
|
ГС-»-со |
|
|
Интуитивно ясно, что соседние точки в сходящейся последователь ности в конце концов становятся все ближе и ближе друг к другу с уве личением п. Любая последовательность, обладающая этим свойством,
называется последовательностью Коши. Точнее, |
если для |
любого |
е ;> О существует положительное целое п0, такое, |
что т, п |
>- п0 =>- |
=>- d (хт, хп) < е, то последовательность называется последователь ностью Коши. Из неравенства треугольника
d (*п. х т) < d {хп, х) + d {х, хт)
следует, что сходящаяся последовательность является последователь ностью Коши. С другой стороны, последовательность Коши может не быть сходящейся просто потому, что элемент х, к которому в пределе стремится последовательность, может не принадлежать множеству 30. Пример последовательности, имеющей предел, лежащий за пределами множества, приведен ниже. Некоторые метрические пространства об ладают удобным свойством, состоящим в том, что в них все последова тельности Коши являются сходящимися. Такие метрические простран ства называются полными.
Пример 2.6. Пусть С [Т] — множество непрерывных действитель ных функций времени, определенных на интервале Т = {/; ^ Ь), и пусть на этом множестве определена метрика вида (2.5 б).
Можно показать путем построения несходящейся последовательности Коши (рис. 2.3), что такое метрическое пространство — не полное.
30