совпадает с
оо
] m x x (f)df
О
оо
J Кхх (/) df
о
К упр. 8.1. |
Использование |
комплексного представления |
упрощает |
эту |
задачу. |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х (t)= Re [у e/2ltfo 1 \ =а cos 2лД, t — b sin 2л/0t, |
|
|
|
где у = |
а -f- / Ь, |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
Е [х {t)\ = Re [£ [у]е,2я^ ] = асоз2 л /0/ — bsin2n/0/ = |
|
|
|
|
= К ( а )2 + (Ь)2 cos (2л/01 + 0). |
|
|
|
Следовательно, Е [х (/)! не зависит от t в том и только в том случае, |
когда а = |
Для автокорреляции мы имеем |
|
|
|
|
|
Е [х (t + |
т) х (0] = |
Е {Re [уу* е—у2я^° х + у2 е,2я^“ (2* + т)] } = |
|
|
— — - Re {Е [ | у j2] е~ <2ltf»T |
Е [у2] е!'2п^° (2<+ х^}. |
|
|
|
Чтобы устранить зависимость |
от |
t, мы потребуем, чтобы |
|
|
|
|
|
Е[у2] = £[а2 — Ь2 + / 2 а Ь] =0 . |
|
|
|
Так как вещественная и мнимая части должны обращаться в нуль, то £[а2] |
== |
= £[Ь2] и Е [a b ]= 0 ; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е [Jv|2] = |
Е [а2 + Ь2] = 2Е [а2], |
|
|
|
|
|
kxx (т) = |
Е [a2] cos 2л/0т. |
|
|
|
Теперь, |
полагая |
х (t) — с cos (2лf0t + 6), |
так что а = с cos 6, |
b = |
—с sin |
6 |
и считая, что с и в статистически независимы, мы приводим предыдущие условия на а и b к виду:
о
о
2я
3) a b = 0 = £ -—с2^ |
cos г] sin tjPq(tj) dr] = 0 |
о |
о |
Эти условия показывают, что если РО (П) разложить в ряд Фурье на интервале
[О, 2л], |
то члены, содержащие первую и вторую гармоники, должны обратиться |
в нуль |
(конечно, при условии PQ(tj) > 0). Очевидно распределение Р0 = 1/2л, |
0 < г] < 2я, дает процесс стационарный в широком смысле. Но такая стацио нарность возможна и при других распределениях. Например, процесс х (t) ста
ционарен в широком смысле, если распределения фазы соответствуют одному из следующих рисунков.
Купр. 8 .2 . Квантованный процесс
х( t ) = ^ y ( k T ) s ( t - k T ) , k
причем у (t) стационарен в широком смысле.
Sft)
1 --------
о т Т
Е [{х (0 —У (О}2] = £ [х2 ( t ) ] + E [у2 (О]--2Е [X (t) У (/)] •
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:
1) Е [X* (01 = 2 2 Е [у ( к Т ) у (}Т) 1 s (/—к Т ) s (t - j T ) =
к/
~% Е \ у * ( к Т ) ] з у - к Т ) ^ к у у (0),
k
поскольку при к ф | слагаемые в двойной сумме обращаются в нуль.
2 ) Я [у* (/)]=*»» (0 ).
3) Е [х (t) у (/)] = 2 Е [у (t) у (AT)] s (t ~ кТ ) = 2 *w (/—AT) s ( / - ЙГ).
k |
k |
Следовательно, |
|
£ 1{х (<)—У (0}2]=2/гуу (0 )-2 2 |
few (<-ЬГ) s (/—feT), |
k |
|
т. e. средний квадрат ошибки периодичен во времени и имеет период Т. Усредняя
за период, получаем
г
~ZT ^ №уу (0) — kyy (01 dt.
о
«Постоянная составляющая», т. е. процесс вида у (/) = а, где а — случайная величина, имеет постоянную автокорреляцию и средний квадрат ошибки в этом
случае равен |
нулю. |
модуляция. Мы можем представить |
К упр. |
8.3. Широтно-импульсная |
процесс в виде |
|
|
х(/) = 2 |
«л (0. |
|
к |
|
где Sfc (t) — прямоугольный импульс, |
шириной ahT, с началом в точке t = kT; |
aft распределены равномерно в интервале (0, 1). |
|
sJ t ) |
е-а.*Т |
|
|
|
к Г |
(к+1)Т |
t |
£ [ x ( 0 ] = 5 > [ s ft = I].
Но
(*+ I) г
P[Sk(t) = l] = y - 5 d l = q ( t - k T ) для
причем <7(/) изображена на рисунке.
1
Таким образом,
я l*(0l = ^ q { t - k T ) .
Чтобы подсчитать автокорреляцию, заметим, что {а^} статистически независимы и
|
£xx(^ii ^2) |
S Е lsft (*i) sj (^2)]» |
|
E [Sfc (h) SJ (<a)] = |
k |
i |
|
|
|
|
при j ф ft. |
P [Sft (h) = 1 ]P [s, ( t 2) = l]=q (h-kT) q\{h-)T) |
При j «= ft оба значения tx и t2 должны лежать в интервале (kT, (k + |
1) Т), иначе |
сомножители обращаются в нуль. Т. е. |
|
|
|
|
|
Е [s* (h) sh (t2)] = Р [sft (h) = |
1 |
и sk (t2) = 1] = |
|
|
_ ( q ( h — kT)s(tz— kT) |
|
при7!><2, |
|
|
\ q ( t 2— kT)s(t1 — kT) |
|
при h |
< t 2 . |
|
Поэтому, положив |
= t + т; t 2 = t |
и k = |
/ |
+ |
m, |
можно легко |
увидеть, что |
автокорреляция имеет период Т по t: |
|
|
|
|
|
i'2t q(t +’t—jT)s(t —jT)+'Z |
2 |
q (t-^-t —j T —rnT) q (t—/Т) |
|
/ |
i |
|
|
|
при т > О, |
kxx W4" ^ > 0 : |
^ q ( i - j T ) s ( t + X - ■ m + ъ |
|
|
|
|
s |
?(*+ * - - j T —тТ) q (t—jT) |
|
i |
i |
тФ0 |
|
при |
т < 0 . |
|
|
|
|
|
|
Рандомизация |
фазы. Рассмотрим х (t + |
8), |
где 8 — независимая случай |
ная величина, равномерно распределенная в интервале [О, Т). Получаемый про-
цесс стационарен в широком смысле, поэтому среднее значение и автокорреляцию можно получить усреднением за период периодических среднего и автокорре ляции циклостационарного процесса:
т |
|
т |
1 Cx ( t ) d t = - y |
j q(t)dt = -j-, |
о |
т |
о |
kxx (т)»:= у |
Jkxx{t + t, t) dt = |
т |
о |
т |
|
= у § q ( t + x)dt + ~ |
2 ^ q ( t + r - m T ) q ( t ) d t . |
От^=ОО
Это выражение можно переписать в виде
т
Ьхх (т) = у - J q{t + x) dt— j - r g (т) + - у ^ rq (т—шТ) ,
тп
где
Т
rq W =J<7(/ + x)q(t) dt.
Последнее слагаемое имеет период Т (по т), что приводит к появлению дискрет ных компонент в спектре мощности.
т |
t \ . |
Т 1 |
т V / _ х |
- + т W |
Гд СФ |
1 - — d t = — 1 —■ |
2 + — ), 0 < т < Т. |
' - К 1- - |
Т |
6 \ |
Т |
|
6 |
|
|
|
|
Заметив, что rq (т) — четная функция, |
можем записать |
|
I О |
|
|
при I т I > Т . |
Объединяя эти результаты, мы имеем |
|
|
|
kxx (т) =Г(т) + - у ^ |
rq (т—тТ) , |
|
непрерывная m составляющая ,
дискретная
составляющая
где
Г м - Ш ' - т Т "Р"
