Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

П Р И М Е Р 3. Найти производную

функции у =

Зх2

+

5

в любой точке

X.

у

= Зх2 + 5;

Р е ш е н и е. 1)

2)

г/ +

Ау =

3(х

+

Ах)2 +

5;

3)

у + Д г / =

Зл;2 +

6л:Дх +

3(Ал;)2 +

5

у

=

Зх2

+

5

Ау — 6х Ах

-\- 3 (Ах)2;

4) ! f - =

6x +

3A*;

5)

у' =

lim

4 ^ - =

Hm

(6А: + 3 Ах) —

6*.

П Р И М Е Р 4. Продифференцировать

функцию

у—-^-

Р е ш е н и е .

1)

у = - ^ " ' .

3)

У +

ЬУ=

{ Х

+ \

Х ) 2

с

д

с

с Ах (2х

+

ах)

аУ~~

(х +

Ах)2

X2

~

X2 (х +

Ах)2

5

л\

—

г

X2

2*

+

А*

.

Н>

Ах ~

L

(х +

Ах)2

*

е\

/

t-

Ау

2х

2с

5)

у'=

hm - ^ - =

— с - г =

— - г .

П Р И М Е Р 5. Продифференцировать функцию г/=&л:+о.

Р е ш е н и е .

1)

г/

—kx-\-b;

2)

у +

Дг/ =

k (х + Ах) +

Ь;

3)

</ +

Дг/ = /ел: +

е Ах + Ь

у

—kx

+ &

Ay =

k

Ах;

В § 38 мы установили, что скорость изменения ли­

нейной функции определяется величиной

коэффициента

k и поэтому есть величина

постоянная

для любого х.

В § 40 мы дали истолкование

производной любой функ­

тат

вполне

согласуется

с

заключением,

полученным

в

§

38.

6.

Найти

/'(2)

и

/'(—-3)

для

функции

П Р И М Е Р

/ (.ѵ) =

З.ѵ2 - j -

5 (т. е. найти

производные

данной

функции

в точках X =

2 и .ѵ =

— 3 ) .

Р е ш е н и е . В примере 3 мы нашли выражение,

опре­

деляющее производную данной функции при любом

зна­

чении

х:

Я' = / ' ( * )

= 6*.

Символ

f

(2)

выражает

значение

производной

функ­

ции f(x)

при X =

2.

Следовательно,

Г(2) =

6 - 2 = 1 2

и П — 3 ) =

6-(—3) =

—18.

3. В

последнем

примере

мы

нашли

производные

функции /(А") =

З Х 2

+ 5 в

точках

х =

2

и х =

— 3, под­

ставляя

вместо

X сначала

число

2,

затем

число

—3

в

выражение,

которое

определяет

производную

функции

f (х) =

Зх2 -(- 5 в

любой

точке

х.

Различным

значениям

X

отвечают

различные

значения

производной

f'(x)

=

=

б.ѵ;

значит, производная

f'(x)

=

Qx

функции

f(x)

=

=

Зх2

+

5

есть,

в свою

очередь,

ф у н к ц и я

от

х.

Таким

образом,

разыскание

о б щ е г о

выражения

для

производной

f'(x)

данной

функции

f(x)

при любом

значении х приводит к образованию по данной

функции

І(х) н о в о й

ф у н к ц и и

f'(x)

того же аргумента. В от­

личие

от производной в данной точке, т. е. от производ­

ной

п р и

д а н н о м

ч и с л е н н о м

з н а ч е н и и

а р г у ­

м е н т а

X эту новую

функцию f'(x)

называют

производ­

ной

функцией.

Дадим

точное определение производной

функции.

О п р е д е л е н и е .

Пусть

функция

f(x)

определена

на

отрезке

[а, Ь] (или в

промежутке

(а, Ъ) ) и

имеет

в

каждой

точке этого

отрезка

(или

промежутка)

произ­

водную.

Функция

f'(x),

значение

которой

при

каждом

данном

значении

х =

х0

равно

производной

f'(xo)

в точ­

ке

X =

л'о

от данной

функции

f(x),

называется

произ­

водной

функцией

от функции

}(х).

Отсюда

вытекает,

что п р о и з в о д н а я

в т о ч к е

есть

частное

значение

п р о и з в о д н о й

ф у н к ц и и .

На­

ходя

производную при

любом значении

х,

мы тем

са­

ции. Выше,

в примерах 2, 3, 4 и 5

мы нашли

именно

производные функции от функций

у = х\

y = Sx2 + 5, у = ~ ,

y = kx + b.

Следует

заметить, что на практике всегда

бывает

ясно, о чем

идет речь: о производной

в точке или

о про­

§

42.

Наклон кривой. Касательная к кривой. 1. Угло­

вой

коэффициент k

прямой, заданной уравнением у

=

— kx-\-b,

называют

еще наклоном прямой, потому

что

Понятие производной позволяет

определить

также

н а к л о н к р и в о й л и н и и . Но так

как подъем

кривой

кривой.

Под

наклоном

кривой

в данной

ее точке понимают

угловой

коэффициент касательной,

проведенной

к

кри­

вой в данной

точке.

Таким образом, для определения наклона

кривой

надо уметь по заданному ее уравнению y = f(x)

и

ко­

ординатам

(х; у)

данной

ее точки

определить

угловой

если, например,

попытаться

применить

это определение

к параболе у =

х2 (см. рис.

50), то в

начале координат

деление

касательной.

Для определения касательной в точке М0

к

данной

кривой

поступим следующим образом: возьмем на кри­

вой

кроме

точки

.Wo

еще

точку

M

(рис. 48)

H проведем

секу­

щую

МаМ.

Когда

точка M

пере­

мещается вдоль по кривой, се­

кущая

М 0

М вращается

вокруг

точки М 0 .

Рис. 48.

ке

Касательной

к кривой

в точ­

М0 называется

предельное

по­

ложение

М 0

Т секущей

М0М,

когда

точка

М,

переме­

щаясь

вдоль

по

кривой,

стремится к

совпадению

с М 0 .

Если

кривая

задана

уравнением

y

= f{x),

то

для

проведения касательной к

ней

в точке M0(xG;y0)

доста­

точно

знать

угловой

коэффициент

касатель­

ной.

Посмотрим,

как

можно

найти

угловой

коэффициент

k

каса­

тельной

к

кривой

в

точке MQ.

х0

Придав

абсциссе

точки

Mo

приращение

Ах,

перейдем

от

точки

М0

к

точке

M

с

аб­

Рис.

49.

сциссой

х0

-f- Ах

и

ор­

= {(xo'-fAx)

динатой

уо 4- Ау

=

(рис. 49).

Угловой

коэффициент t g a

се­

кущей MQM определится из прямоугольного треуголь­

ника

MQNM.

В

нем катет

M0N

равен

приращению

Ах

абсциссы

х0

точки

М 0

, а

катет

NM—

соответствующему

приращению ординаты

у:

Значит,

NM

=

Ay

=

f(x0

+

Ах)

-

f

(х0).

T f T

„ _

д а

-

f (*о "Ь А*) — f (Хо)

Когда

точка

М,

перемещаясь

по

кривой,

стремится

Ä«=tgq> =

-lim

4 ^ =

lim fto

+

**)-f(x4)m

Дх-»0 А

х

Дх-»0

ù x

Так

как

lim -^т

есть

производная

Г(х0 )

функции

у —

— f(x) при

значении

х — х0,

то

заключаем,

что

угло­

вой

коэффициент

k

касательной

к

кривой,

заданной

уравнением

у — f(x),

в

точке

М0(х0;уо)

кривой

равен

значению

производной

f

(х)

функции

у =

f(x)

при

зна­

чении

X =

XQ, T. е. k =

f' (Х0) .

коэффициент

k

касатель­

Другими

словами,

угловой

ной

есть производная

в

точке

х0

от ординаты.

y*=f{x)

по

абсциссе

х.

Вместе с тем

мы решили

вопрос- и о нахождении на­

П Р И М Е Р

1. Найти наклон

кривой у =

х3

в точ­

ке (2; 8).

Р е ш е н и е . В

примере 2 § 41 мы

нашли

производ­

ную функцию от

функции у =

X 3 ,

а именно: у' =• Зх2.

Чтобы найти

наклон кривой в

точке,

абсцисса

которой

изводную функцию, вместо х число 2 и таким

образом

получаем

е = г/' = 3 . 2 2 = 1 2 .

П Р И М Е Р

2.

Найти

уравнение

касательной

к

пара­

боле у = X2

а)

в

точке

М 0 ^ - ;

б) в

начале

коор­

динат.

Р е ш е н и е ,

а)

Уравнение касательной

как

прямой,