Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 221

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

105.

c.(l + l i i a ) '

,06. ff = f (Д + *~Т).

107.

 

е-1 — 1

 

</ = - ^

+ т

-

 

.

— е~х

 

108.

у =

х

_ х .

 

109.

у =

In tg

+

j j .

HO. у =

In cos x.

 

111.

« =

• I

 

 

sm lnx .

 

 

3

 

 

 

112.

(/ =

n i /

,

. .

Г1 — sin x

113.y = e s i n x .

114. y = a t g , u : .

Э

0тв_ l/BSJ+cxeb+* •

Ore.j/' = -i(e T -e ~r ).

0тв-

2ex

 

 

 

^' =

7

F + T

F -

Отв. у

 

=

4

_

.

 

 

 

 

Ore. у' =

sec x.

 

 

 

Ore. y /

=

— tgx.

 

 

^

,

—

cos In x

.

 

Отв. у

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Ore. y' =

.

 

 

J

 

 

cosx

 

 

 

Отв. у' =

cos x e s

i n

*.

 

Ore. y' =

г

 

C O S 2

ЯХ

 

 

 

 

 

К § 58.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти производные

следующих

функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

x

 

 

 

п

,

 

 

1

 

 

 

 

 

115.

</ = arcsin—.

 

 

 

Ore. у

=

 

,

 

 

 

.2

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

F а 2

— х:

А

 

 

 

 

 

 

2х

 

 

 

'

 

 

^

 

 

 

 

 

 

116.

у =

arctg - t

_

^ .

 

Ore.

г/ =

1

+ х

г

 

 

 

 

 

117.

у =

a r c t g / F + 2 x .

 

Ore. y' =

^

+

1

) f

^

+

^

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

1

 

 

 

118.

r, =

arcctg y

_

— -

•

Ore. y

-

 

у ^ Г ^

 

'

 

 

 

 

x2

_ а 2

 

 

,

 

 

 

2а

 

 

 

 

119.

y =

arccos-; e 2 +

a

2 - .

 

Отв. y

—

 

хг

+

a t

•

 

 

 

 

 

 

 

 

_

_ .

 

Ore.

 

y -

 

2 L

^

T

7

2

'

 

 

 

 

e* -

 

e~x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

121.

y =

arctg

 

 

2

.

 

Ore. y = —

+

e

— .

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

— e - *

 

Отв. y =

 

 

 

2

 

 

 

 

122.

y =

arccos—

 

— .

 

 

;

 

 

- .

 

 

 

 

 

 

e

+

e

 

 

 

 

 

e

+ e

 

*

 

 

 

 

іА^

 

5

 

•

 

о

/•

 

x arcsin x

 

 

123.

y—V 1 - х 2

arcsin x — x.

Отв. y =

 

,

 

 

—.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У 1 — x 2

 

124.

y =

x / а 2

— x 2 + a2

arcsin

 

Ore. y" =

2 / а 2

— x 2 .

125. y =

x arcsinK l — x 2

— У 1 — x2 .

 

Ore. y' =

arcsinVl

— x-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

183

ГЛАВА VII

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

§

59. Ход изменения

функции. Как

было установлено

в §

35, геометрическим

изображением

функции являет­

ся, вообще говоря, кривая. Пусть рис. 54 представляет

график

некоторой функции

y = f(x),

заданной на

от­

резке

[а, Ь]. Показанная на

чертеже

кривая дает

на­

глядное представление о ходе изменения функции в за­ висимости от изменения аргумента.

У

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ъ

 

 

 

 

/*'

 

 

/

 

 

О

а

с ,

V

сг

1

 

J?

V

1

Сч b

 

 

 

 

 

/4

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

54.

 

 

Мы видим,

что

при

возрастании х от а до b кривая

на отдельных

участках

поднимается,

на других — опус­

кается. Участки подъема и падения кривой соответ­ ствуют промежуткам возрастания и убывания функции.

Так, рис.

54

наглядно

показывает,

что в

промежутках

{a, Ci),

(с2,

с

3 ),

(с4 , Ь)

функция возрастает, а в проме­

жутках

(Ci, сг),

(сз, Ci)

убывает. В

точках

Мі и М3 кри-

184

вая имеет наивысший подъем сравнительно с близкими к этим точкам участками кривой, а в точках М2, Л/4 кривая опускается наиболее низко сравнительно с близ­ кими к точкам M2, ЛІ4 участками.

При значениях аргумента х = с\ и х = с3 (рис. 54), которым отвечают точки наивысшего подъема графика,

функция

y

= f{x)

имеет наибольшие значения

по срав­

нению с ее

значениями в соседних точках отрезка [а,Ь];

при

тех

значениях аргумента, где график опускается

наиболее

низко

(х = с2 и

х = с4 на рис. 54),

функция

y==f(x)

имеет наименьшие значения по сравнению с ее

значениями

в соседних точках.

 

 

Возрастание и убывание функции, наибольшие и наи­

меньшие

значения, достигаемые функцией во внутрен­

них

точках

того

отрезка,

где она определена,

состав­

ляют элементы, характеризующие ход изменения функ­ ции. В настоящей главе мы рассмотрим, как по заданной функции можно определить указанные харак­ терные особенности ее изменения. Мы увидим, что эта

задача решается

при помощи понятия

производной.

§ 60. Возрастание и убывание функции в промежутке.

О п р е д е л е н и е .

Если

в промежутке

изменения

аргу­

мента X от а до

b(a<.b)

значения функции y —

f(x)

возрастают

с

возрастанием

х,

то

функция

называется

возрастающей

в этом промежутке.

 

 

 

 

Аналогично, если в промежутке от а до b значения

функции y =

 

f(x)

с возрастанием аргумента

лмубывают,

то функция

называется

убывающей

в этом

промежутке.

Из определения следует,

что

график

функции,

в о з ­

р а с т а ю щ е й

в промежутке

(а, Ь),

изобразится кривой,

поднимающейся в направлении возрастающих абсцисс

(рис. 55).

 

 

 

График

функции, у б ы в а ю щ е й в промежутке

(а, Ь), представляет собой

кривую,

опускающуюся в на­

правлении

возрастающих

абсцисс

(рис. 56)*).

Чтобы исследовать ход изменения функции, надо уметь находить промежутки, в которых функция воз­ растает и в которых она убывает, для чего следует уста­ новить аналитический признак, позволяющий решать эту задачу. Этот признак формулируется в виде следую­ щих теорем.

*) Стрелки на рис. 55, 56, 57 и 58 указывают, что точки, в ко­ торых расположены их острия, не принадлежат графикам функций.-

185

Т е о р е м а ( д о с т а т о ч н ы й п р и з н а к

в о з р а с ­

т а н и я ф у н к ц и и ) .

Если

производная

 

данной

функ­

ции

положительна

 

для всех

значений

х

в

промежутке

(а,Ь),

то функция

 

в

этом промежутке

возрастает^

 

t 1

 

/ \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

/

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

I

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

—

1

 

 

t

 

О а

 

 

 

' О . а

 

 

. b

 

 

 

1

 

>х

 

 

 

 

Рис. 55.

 

 

 

 

 

Рис.

56.

 

Не имея возможности дать в настоящем курсе стро­ гое доказательство этой теоремы, заметим, что спра­ ведливость ее легко усматривается из геометрических соображений. В самом деле, производная представляет

Рис. 57. Рис. 58.

собой угловой коэффициент касательной к графику функции или наклон графика функции. Поэтому при

положительном знаке

производной

касательная,

обра­

зуя о с т р ы е

углы

с

осью

Ох,

остается

в промежутке

(а, Ь)

наклоненной

кверху,

а с

нею

идет

вверх

и сама

кривая

(рис.

57).

 

 

 

 

 

 

 

186

 

Т е о р е м а

 

( д о с т а т о ч н ы й

п р и з н а к

 

у б ы в а ­

н и я

ф у н к ц и и).

Если

производная

 

данной

 

функции

отрицательна

для

всех

значений

х

в

промежутке

 

(а,Ь),

то функция

в этом промежутке

убывает.

 

 

 

 

 

В самом деле, при отрицательном

знаке

производной

в

промежутке

(а, Ь)

касательная

к

графику

функции,

образуя

т у п ы е

углы

 

с

осью

Ох,

остается

наклоненной

вниз,

а

вместе

с

нею

идет

вниз

и

 

 

у

 

 

 

сама

кривая

(рис.

58).

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

П Р И М Е Р .

Определить

промежутки

 

 

 

 

 

 

возрастания

и убывания функции

 

 

 

 

/

\

 

 

/

 

 

 

 

у =

х*-Зх*

 

+

5.

 

 

 

•

I

 

\

 

I

 

Р е ш е н и е .

Находим

производную дан-

 

/

 

\

 

/

ной

функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у'

=

З * 2

-

6*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь надо определить, при каких зна­

 

 

 

 

 

 

чениях аргумента х производная положи­

 

 

 

 

 

 

тельна

и

при

каких

отрицательна.

Для

 

 

 

 

 

 

этого

разложим

двучлен

ЗА 2

— 6*

на

мно­

 

 

 

 

 

 

жители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уг

=

 

Зх(х-2).

 

 

 

 

 

Рис.

59.

 

 

Теперь легко усмотреть, что произведение

ЗА (je — 2)

при

всех

значениях

х < 0 положительно, так

как

при этом

х и разность

х— 2

будут отрицательны. При х положительном, но меньшем двух, про­ изводная отрицательна, и при х> 2 она опять становится положи­ тельной. Следовательно, функция в промежутке от —оо до 0 возра­

стает,

в промежутке

от

0 до

2 убывает и в промежутке от 2 до

-{-со

возрастает. На

рис.

59

показан график данной функции.

§ 61. Максимумы и минимумы*) функции. Нахожде­

ние экстремумов функции. 1 Задачу об определении про­

межутков возрастания и убывания функции мы

решили

в предыдущем параграфе. Переходим теперь к

вопросу

о нахождении точек (значений аргумента х), в которых

функция f(x)

достигает наибольших

и наименьших

зна­

чений сравнительно

со значениями

ее

в ближайших

точ­

ках (см. §

59).

Функция f(x)

имеет

в точке

х=с

О п р е д е л е н и е .

максимум

(или минимум),

если

эту

точку

можно

окру-

окить такой

окрестностью,

что

для

 

всех

значений

х в

•) По-латыни maximum и minimum

означают,соответственно,

«наибольшее»

и

«наименьшее»,

 

 

 

 

 

 

187

Смотрите также файлы