Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Равенство

(3) содержит две

переменные

величины х

и

у (текущие

координаты)

и

называется

уравнением

с

двумя переменными. Если

в

уравнении

(3) текущие

координаты заменить какими-нибудь числами, то в ле­ вой его части вместо выражения Зх — у получится не­ которое число; когда при такой замене уравнение обра­

щается

в равенство 0 =

0,

то говорят,

что

эти

числа

удовлетворяют

уравнению

(3); если же такая замена

дает

в

левой

части уравнения число, отличное от нуля,

то говорят, что эти числа

не

удовлетворяют

уравнению

(3)

(уравнение в этом

случае уже

не

обращается

в ра­

венство

0 =

0).

 

 

уравнении (3) х числом 2, а

Например,

заменив

в

у — числом

6,

придем

к равенству

0 =

0;

значит

числа

2 и 3 удовлетворяют уравнению

(3);

если

заменить х

числом

1, а

у

числом 5, то в левой части его получится

число — 2, отличное

от 0;

значит числа

1 и 5 не удовле­

творяют уравнению

(3).

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

(3)

выражает

условие,

что

переменная

точка плоскости лежит на данной прямой; отсюда сле­

дует, что координаты всякой точки,

лежащей

на пря-

мой, должны

удовлетворять

уравнению

(3), а

координа­

ты любой точки, не лежа­

щей на дайной прямой, не

мосут

удовлетворять

этому

уравнению.

 

 

 

Например,

точка

О(0;0)

лежит

на

данной

 

прямой?

нетрудно видеть, что ее ко­

ординаты

 

удовлетворяют

уравнению

(3)

 

 

 

Рис. 14.

3 - 0 - 0

=

0.

 

 

 

Отложим на оси Ох влево от начала координат О, отрезок ОР длиною 1 и восставим в точке Р перпен­ дикуляр к оси Ох до пересечения с прямой; получим точку Q, лежащую на прямой (рис. 14). Так как угол POQ равен углу наклона данной прямой к оси Ох, то длина отрезка PQ равна Ь 3 = 3. Таким образом, точка Q имеет координаты (—1;—3); эти координаты удов­ летворяют уравнению (3)

3 ( - 1 ) - ( - 3 ) = 0.

32

Возьмем теперь точку, заведомо не лежащую на пря^ мой, например точку /?(3;0). Как видим, ее координаты не удовлетворяют уравнению (3), так как

 

 

 

3 . 3 -

О Ф 0.

 

 

 

Вообще

уравнением

прямой называют

такое

урав­

нение с двумя

текущими

координатами (х; у), которому

удовлетворяют

координаты

любой

точки,

лежащей

на

прямой,

и

не

удовлетворяют

координаты

ни одной

точ­

ки, на

данной

прямой не

лежащей.

Следовательно, урав­

нение (3) есть уравнение прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси Ох под углом, тангенс которого равен 3.

Из всего сказанного вытекают следующие выводы: а) Уравнение прямой представляет собой координат­

ную форму необходимого и достаточного условия, при

котором переменная точка

М{х\у)

плоскости оказы­

вается

лежащей" на данной

прямой.

 

б)

Чтобы определить, лежит ли данная точка на дан­

ной прямой или не лежит, достаточно установить, удов­ летворяют ли ее координаты уравнению прямой или не удовлетворяют; если удовлетворяют, значит точка ле­ жит на прямой, а если не удовлетворяют, значит не лежит. .

Так, точка ^ ( 4 ; 12) лежит на прямой, выражаемой уравнением (3), потому что

3 . 4 - 1 2 = 0;

точка же іѴг(2;—3) на этой прямой не лежит, так как 3 • 2 - ( - 3 ) Ф 0.

7. Имея уравнение прямой можно найти сколько угодно точек, лежащих на ней. В самом деле, придадим какое-нибудь численное значение одной из текущих ко­ ординат, например х, и заменим х в уравнении (3) этим числом; после этого уравнение (3) будет представ­

лять собой уравнение относительно у; определив

из

этого уравнения значение у, получим пару

чисел (коор­

динат),

у д о в л е т в о р я ю щ и х

уравнению

прямой;

эти

числа

и будут координатами

точки, л е ж а щ е й

на

прямой.

Так, положив, например, в уравнении (3) х = —2, получим

3 ( - 2 ) - # = 0,

2 Hj П 3 Тарасов

33

откуда

у =

— 6;

 

 

 

 

 

 

точка

(—2;—6)

лежит на

рассматриваемой прямой.

8.

Положение

прямой

линии на

плоскости

вполне

определено, если

известны

две точки,

лежащие

на пря­

мой: через две данные точки проходит единственная прямая. Но для определения положения прямой линии не обязательно знать две точки, через которые она про­ ходит, а можно задать и каких-нибудь два других усло­ вия. Среди различных способов задания прямой на ко­ ординатной плоскости очень удобным для изучения пря­ мой и имеющим широкое применение в приложениях является способ определения прямой при помощи сле­ дующих условий:

1) прямая пересекает ось Oy в точке, ордината кото­ рой равна Ь, 2) образует угол наклона с осью Ох, рав­

ный

ф.

Эти

два

условия определяют

единственную

прямую.

 

 

 

 

 

В самом деле, прямых, пересекающих ось Oy

в точ­

ке Р(0;Ь),

можно

провести сколько угодно, но из них

только одна

будет

образовывать с осью

Ох

данный

угол

ф.

 

 

 

 

 

Точно так же, можно провести сколько угодно пря­ мых под углом ф к оси Ох; все такие прямые будут па­ раллельны друг другу. Но из них только одна прямая пересекает ось Oy в точке, ордината которой равна Ь.

Для того чтобы найти уравнение прямой, заданной указанными условиями, нужно установить геометриче­ ское равенство, выражающее необходимое и достаточ­ ное условие, что переменная точка M плоскости лежит на рассматриваемой прямой, и затем это равенство представить в координатной форме (через текущие ко­

ординаты X, у

точки

М).

Для того

чтобы

точка М(х\у) оказалась лежащей

на данной прямой, необходимо и достаточно, чтобы на этой прямой оказался лежащим 'и отрезок РМ.

Действительно, если точка М(х;у) лежит

на

нашей

прямой, то отсюда необходимо следует, что

и

отрезок

РМ лежит на прямой.

 

 

Обратно, если отрезок РМ лежит на прямой, то и

точка M также лежит на прямой.

 

 

Рис. 15, а изображает случай, когда угол

ф

острый,

Ь > 0 и координаты точки M положительны.

Из этого

34

рисунка получаем

NM = PNtgq>.

(4)

Представим теперь это равенство в координатной форме. Так как NM = у — b, PN — х, то равенство (4) в координатной форме запишется так:

У — b =

xigy.

 

(5)

Тангенс угла ф наклона

прямой

к оси Ох

называют

угловым коэффициентом прямой и

обозначают

обычно

У

\ 0

/У

6)

Рис. 15.

буквой k. Заменив в уравнении (5) tgcp буквой k и пе­ ренеся член —b в правую часть, получаем так назы­

ваемое уравнение

прямой

с угловым

коэффициентом:

 

y =

kx-\-b.

(6)

Угол ф может быть не только острым, но и тупым, ордината b точки Р не только положительной, но и отрицательной. Однако во всех случаях прямая, заданная углом ср и ординатой b будет иметь

уравнение вида

(6). Рассмотрим

для примера случай, изображен­

ный на рис. 15,6.

Здесь 90° < q> <

180°, b < 0. Точка M имеет по­

ложительную абсциссу и отрицательную ординату. Из указанного рисунка получаем

 

 

 

MN = PN tg

ij).

(4*)

Здесь

MN =

\y\-\b\

= — y - ( - b ) =

b — y, PN = x, •ф =

1 8 0 ° - ф .

В силу

(4*)

находим

 

 

 

 

или

 

 

& - y = * t g ( 1 8 0 ° - ( p ) ,

 

 

 

b — у =

— X ig ф,

 

или, окончательно,

 

y^kx

+ b.

 

(6*)

 

 

 

 

2*

 

 

 

 

 

35

Ординату Ъ точки, в

которой

прямая пересекает ось

Oy, называют начальной

ординатой.

Каждой определенной

прямой

соответствуют опреде­

ленные значения величин k и Ь. Так, биссектрисе пер­ вого координатного угла, выражающейся, как мы ви­

дели,

уравнением у = х, соответствует значение

k — 1

и значение Ь = 0.

Прямой, которая

выражена

уравне­

нием

(3),

отвечают

значения: k = 3,

b — 0.

 

Чтобы

выразить

прямую уравнением с угловым ко­

эффициентом, надо знать значение ее углового коэффи­ циента и начальной ординаты. Поэтому задача нахож­ дения (или составления) уравнения прямой с угловым

коэффициентом

состоит

в

нахождении

коэффициентов

k

и b

уравнения

 

(6)

по

условиям

 

задачи.

 

 

 

 

П Р И М Е Р

1.

Прямая

наклонена к оси Ох под углом в 30°

и

имеет

начальную

 

ординату,

 

равную

—3.

Составить

уравнение

прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

По

условию

 

имеем:

% = te30° = — L ^ ;

b =

— 3.

 

 

 

 

 

 

 

£ = — —

 

 

 

 

 

V з

 

 

Полагая

в

уравнении

(6)

и

6 =

— 3, получим

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

искомой

прямой

у —

 

у—

X — 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П Р И М Е Р

2.

 

Найти

уравнение

 

прямой,

проходящей

через

точку (2; —5) п наклоненной

к оси Ох под углом в 45°.

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Нахождение

уравнения

у

=

kx +

6 сводятся к

на­

хождению

двух

неизвестных:

k и Ь\ чтобы найти

два

неизвестных,

нужно по

условиям

 

задачи

составить

два

уравнения

относительно

этих неизвестных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оси Ох

 

 

Так

как в задаче

сказано,

что

прямая

наклонена к

под

углом в 45°, то получаем

первое

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/е =

tg 4 5 ° =

1,

 

 

 

 

 

 

 

оказывающееся в данном случае уже разрешенным относительно неизвестного А.

Кроме того, нам известно, что искомая прямая проходит через точку (2; —5); это значит, что координаты (2; —5) должны удо­ влетворять искомому уравнению, т. е. должно быть справедливым равенство

у —

Отсюда: k — \,

b =.—7.

Следовательно, искомое уравнение есть

х — 7.

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Вместо

того, чтобы, говорить «найти уравнение

прямой», часто говорят короче: «найти прямую».

36

Смотрите также файлы