Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 148

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 6. Уравнения прямых, параллельных осям коорди­ нат; уравнения осей координат. Как было выяснено в § 5, в зависимости от положения прямой на плоскости, коэффициенты k и b уравнения прямой с угловым, ко­ эффициентом имеют те или иные числовые значения.

Рассмотрим,

в частности,

прямую,

параллельную оси Ох

и пересекающую ось Oy в точ­

 

 

 

 

 

ке, ордината которой равна b

 

 

 

 

 

(рис.

16).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем

уравнение

этой

 

 

 

 

 

прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если b — число положитель­

 

 

 

 

 

ное,

то

прямая

лежит

выше

 

 

 

 

 

оси

Ох,

а если

отрицательное,

 

 

 

 

 

то прямая проходит в нижней

 

 

 

 

 

части

полуплоскости.

 

 

 

 

 

 

Ох,

Прямая,

параллельная

оси

 

 

Рис. 16.

образует

с

нею

угол,

рав­

 

 

 

 

 

ный

0°.

Поэтому

£ = tg0° =

0;

начальная

ордината

равна

Ь.

Таким

образом,

уравнение

(6)

имеет в рас­

сматриваемом случае вид

y =

Q*xr{-b

или,

проще,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

Следовательно, уравнение (7) представляет краткую

запись уравнения у = 0-х

-{- Ь, и отсутствие в нем чле­

на, содержащего

х,

произошло

потому, что

коэффициент

k обратился в нуль. Текущая координата х есть вели­ чина переменная, и различным точкам прямой соответ­

ствуют

различные

значения

х.

Так, например,

в

точке

M1 абсцисса х = хи

в точке М2

абсцисса х =

х2

и, в ча­

стности,

в точке О

абсцисса

х =

0. Уравнение

(7)

пока­

зывает, что при всех значениях х ордината у остается

всегда равной числу Ъ, ибо

0>л; = 0

при любом значе­

нии X. И то обстоятельство,

что при

всяком х ордината

у остается равной Ь, как раз и характерно для прямой, параллельной оси Ох и отстоящей от нее на расстоянии,

равном

\Ь\.

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

уравнение

прямой,

параллельной

оси

Ох

и пе­

ресекающей ось

Oy

в точке

(0;6), имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

Аналогично,

уравнение

прямой,

параллельной

оси

Oy и пересекающей

ось Ох

в точке,

абсцисса

которой

37

равна I, имеет

вид

 

 

х = 1,

(8)

т. е. х — 1 при

всех значениях у

(рис. 17), что как раз

и характерно для прямой, параллельной оси Oy. Заме­

тим,

что уравнение

прямой,

параллельной оси Oy, нель­

У\

 

 

зя

представить в

виде

(6),

так

как

в

I

 

этом

случае

ф =

90°

и

& = tg(p

не

 

 

 

существует; не существует и началь­

 

 

 

ной ординаты

Ь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если мы будем уменьшать абсо­

 

 

 

лютные значения

величин

Ъ и / вурав -

 

— ^ . г 1

нениях

(7)

и

(8),

то

будем

получать

 

 

 

прямые, параллельные осям Ох и Oy,

 

 

 

отстоящие

от

них

на

все

меньшие

и

 

Рис. 17.

 

меньшие

расстояния.

Наконец,

при

 

 

 

b = 0

и / =

0 эти прямые

сольются

соответственно с осями Ох и Oy. Таким

образом,

урав­

нение

оси Ох

имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У =

0,

 

 

 

 

'

 

(9)

а уравнение оси

Oy

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х =

0.

 

 

 

 

 

(10)

Уравнение (9) показывает, что для всех значений х

ордината у остается равной нулю. А это, очевидно,

и

есть свойство

точек оси

Ох.

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

(10)

показывает,

что

для

всех

значений

у абсцисса х остается равной нулю. А это и есть свой­ ство точек оси Oy.

§ 7. Уравнение прямой в общем виде. В §§ 5 и 6 мы рассмотрели все возможные положения прямой от­ носительно выбранной системы координат Оху и уста­ новили, что всякая прямая выражается уравнением пер­ вой степени относительно текущих координат (х\ у). Покажем теперь справедливость обратного предло­ жения:

Всякое уравнение

первой степени

относительно те­

кущих координат

 

 

Ах

+ Ву + С = 0,

(11)

33

где А, В

и

С — постоянные коэффициенты*),

выражает

прямую

линию (т. е. точки,

координаты

которых удо­

влетворяют

этому уравнению,

образуют

прямую).

В самом

деле, предполагая, что коэффициент В ф О,

и решая

уравнение (11) относительно у,

получим**)

 

 

* = - 4 * Ч г

 

< и * >

Как мы уже доказали в § 5, такому уравнению удов­ летворяют координаты любой точки, лежащей на пря­ мой, определяемой угловым коэффициентом

А

и начальной ординатой

1

*с

ь = - т ,

и не удовлетворяют координаты любой точки, на указан­ ной прямой не лежащей. Итак, уравнению (11*) отве­ чает единственный геометрический образ — прямая, оп­ ределяемая указанными условиями. А так как уравнение

(11) равносильно

уравнению

( И * ) ,

то и

уравнение

Ах + By + С = 0 выражает

упомянутую

прямую.

Рассмотрим теперь случай, когда в

уравнении (11)

коэффициент

В =

0. Тогда

это

уравнение

принимает

вид Ах^- С =

0, или

 

 

 

 

 

 

* + - £ = 0 .

 

( I I * * )

Нам известно, что этому уравнению соответствует пря­ мая, параллельная оси Oy и пересекающая ось Ох в

Q

точке с абсциссой — - д . Значит, ту же прямую выра­

жает

и исходное уравнение Ах^-Ву

+

С =

0, где 5

=

0.

*) При этом предполагается, что хотя бы один

из

коэффициен­

тов А

или В отличен от нуля, так как, если

А = 0

и

В = 0,

то

из

(11)

следует, что и С = 0; в таком случае

равенство

(11)

прини­

мает

вид

 

 

 

 

 

 

 

0-х + О-у + О — О,

 

 

 

 

 

т. е. обращается в тождество, а не является уравнением с перемен­ ными X и у .

**) Условие В Ф= 0 в данном случае необходимо, так как при ре­ шении уравнения (11) относительно у приходится все члены уравне­ ния делить на В, а деление на нуль не выполнимо.

39

Итак, каковы бы ни были коэффициенты А, В и С уравнения (при условии, что хотя бы один из коэффи­ циентов А или В не равен нулю), уравнение (11) вы-

4ражает прямую. Теорема доказана.

§8. Неполные уравнения прямой. Как мы только что доказали, каждое уравнение первой степени

 

Ах + By + С =

0

(11)

выражает

прямую. Рассмотрим

некоторые

ч а с т н ы е

с л у ч а и

этого уравнения, именно, случаи,

когда один

или два из его коэффициентов А, В, С обращаются в нуль.

I .

С = 0,

АфО,

ВфО.

Уравнение

(11) принимает

вид

 

 

Ах

+

Ву = 0.

(12)

Координаты точки (0;0), т. е. начала координат, удов­

летворяют уравнению (12). Следовательно, если в

урав­

нении

прямой

отсутствует свободный

член,

то

 

прямая

проходит

через

начало

координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I I .

 

 

 

 

 

Л =

0,

ВФО,

 

СфО.

 

 

 

 

 

Уравнение

(11)

принимает

вид

ß y - f - C

—0

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13)

а

это

есть

уравнение

прямой,

параллельной

оси

 

Ох

(см. §

6).

 

 

В =

0,

АфО,

 

 

СфО.

 

 

 

 

 

 

 

I I I .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

этом

случае

 

уравнение

(11)

принимает

вид

Ах

-f-

+

С =

0,

 

или

х

-

 

и

выражает

прямую,

парал­

лельную

оси

Oy

(см. § 6).

 

 

и

 

 

 

 

 

если

в

 

Из

рассмотрения

случаев

I I

I I I

следует:

 

уравнении

 

прямой

нет члена,

 

содержащего х,

то

прямая

параллельна

 

оси

Ох;

если в

уравнении

 

прямой

нет

чле­

на,

содержащего

 

у,

то прямая

параллельна

оси

 

Oy.

 

 

IV .

 

 

 

 

Л =

0,

С =

0,

ВФО.

 

 

 

 

 

 

Уравнение

(И)

принимает

вид

Ву

=

0

или

у =

0;

 

это

уравнение,

как

мы видели

в

§

6,

является

уравнением

оси Ох.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АфО,

 

 

 

 

.

. -

 

V.

 

 

 

 

ß =

0,

С =

0,

 

 

 

 

40

Смотрите также файлы