Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

П Р И М Е Р

1.

Прямая

Зх +

5у

= 0

проходит через

начало

ко­

ординат,

так

как в

ее

уравнении

свободный член

равен

нулю.

Прямая 2х—-5

=

0

параллельна

оси

Oy,

так

как

в

ее

уравне­

нии

отсутствует

член,

содержащий

у.

Уравнение

Зх — 0

может

быть

приведено

к

виду

х

=

0

и

яв­

ляется

уравнением

оси

Oy.

П Р И М Е Р

2.

Построить

прямую,

заданную

уравнением

Зх-\-Ау~

11 = 0 .

Р е ш е н и е .

Найдем

сначала

способом,

указанным

в

§ 5

(пункт 7 ) , какие-нибудь две точки, лежащие на этой прямой.

Поло­

жим, например,

в данном уравнении

х —. 1. Тогда

для у

найдем

зна­

чение

у =

2.

Положив

X =

— 3 ,

получим

у

=

5.

Итак,

мы

нашли

у

две

точки

(1;

2) и

( — 3; 5 ) ,

лежа­

щие

на

нашей

прямой.

Построив

эти точки, проведем через них

прямую

(рис.

18),

определяемую

заданным

уравнением.

где

к и

Ь — подлежащие

определению коэффициенты

(или, как часто говорят, параметры).

Задача

содержит только

о д н о условие — прохожде­

ние

прямой через данную точку, а одного условия

недо­

статочно

для определения

д в у х н е и з в е с т н ы х

ко­

b = yv —

kxv

Подставив

теперь

найденное выражение

коэффициента

b в

уравнение (6),

получим: у =

у\ — kxx или

У — Уі = k (х — Ху).

(14)

В

этом

уравнении величина

углового

коэффициента

мые проходят через

точку

М(хиу\),

так как координа­

ты х\ и уі удовлетворяют

уравнению

(14) при любых

значениях k. Поэтому говорят, что уравнение (14)

есть

уравнение

пучка

прямых,

проходящих

через

точку

М(хл\у\).

Очевидно, уравнение

(14) выражает

пучок

всех прямых, проходящих

через точку

М{Х\,у{),

кроме

коэффициент

k не существует.

П Р И М Е Р .

Найти уравнение пучка прямых, проходящих

через

точку (—3; 5).

(14) Хі —,—3, tji = 5,

Р е ш е н и е .

Полагая в

уравнении

по­

лучим

у -

5 = k (X +

3),

ные точки. Пусть

даны две точки: Mi (хх; ух)

и ^ ^ й ) ,

причем X ] ф х2,

УІ Ф у% Требуется составить уравнение

прямой, проходящей через эти точки.

Для этого напишем уравнение пучка прямых, прохо­

дящих через одну из данных

точек,

например через

точку Mi (XÙ yi).

Это уравнение

имеет

вид

(14)

М2(х2;у2).

Значит, для искомого

уравнения величина k

в

уравнении (14)

должна

иметь

определенное

значение,

а

именно

такое,

при котором

уравнению

(14)

удовлет­

воряли бы

координаты х2,

у2

точки М2.

Подставляя, в

динат, найдем

искомое значение k:

Х2 — Хх

Следовательно

искомым уравнением будет уравнение

или

•*2 — Х\

у — г/і

— Ху

(15)

Уг — У\

х2

П Р И М Е Р .

Найти

уравнение

прямой,

проходящей

через

точки

(1;

2) и ( - 3 ; 5).

Хі = 1, уі =

уг =

Р е ш е н и е . Полагая

в уравнении

(15)

2;

х 2 = — 3 ,

5, получим

У - 2

_

х

-

1

5 - 2

- 3

-

1

'

или

Зх +

4у-

11

= 0 .

З а м е ч а н и е

I . Мы вывели

уравнение (lö)

в предположении,

что

Хі ф х2 и у\

ф у2.

Если Хі —

х2

или уі = у2,

то один

из

зна­

менателей в уравнении (15) обращается в

0; а так как деление на

нуль невозможно, то рассматриваемая прямая уравнением

(15)

не

может быть выражена. Если уі

= у2, то прямая параллельна

оси

Ох;

если

же ХІ = х2,

то

прямая,

проходящая

через

точки

Мі

и

М2,

соответственно

уравнениями

(7) и (8) (см. § 6),

и поэтому в указан­

ных

случаях

обращаться

к уравнению

(15)

нет необходимости,

1

З а м е ч а н и е 2. Выше мы установили

формулу

уравнением (15) и положим

в

нем

xt

— а, у{

=

0,

х2

—

=

О,

г/г =

Ь;

тогда

при­

дем к уравнению

у

-

0

X — а

(16)

6

-

0

0 - а

'

которое

легко

приводит­

ся

к

виду

Рис.

19.

Т +

£ = 1 -

(17)

Таков окончательный

вид

уравнения

прямой

в отрезках.

П Р И М Е Р .

Найти

уравнение

прямой,

пересекающей

ось

Ох

в точке ( 5 ; 0 ) и ось Oy в точке

( 0 ;

— 3 ) .

Р е ш е н и е . Полагая в уравнении

( 1 7 ) а — 5, Ь =

— 3 ,

получаем

5 ^

- 3

I .

или

Зх-Ъу

— 15 =

0.

§ 12. Угол между двумя прямыми. 1. Пусть две пере­

секающиеся прямые

AB

и CD

(рис.

20)

заданы

урав­

нениями

y=*kxx

+

bu

(AB)

y =

k2x+b2.

(CDl

Будем предполагать, что эти прямые

не

являются

вза­

имно перпендикулярными*). Пересекаясь в точке

Р,

они образуют два угла: острый угол

ZBPD

=

а, и

ту­

пой угол ZDPA

= 180° — а.

прямыми, углом между прямой

CD и прямой AB, а дру->

гой — углом между

прямой

AB

и прямой CD,

*) В

§

13 будет

показано,

что

прямые

пересекаются,

если

ki Ф,к2,

и не

перпендикулярны, если kfa ф — 1.

Мы предполагаем,

что

угловые

коэффициенты заданных

прямых удовлетворяют

обоим

этим

условиям.

В

соответствии

с определением

угла наклона

прямой

к оси

Ох

углом

меоісду прямой

CD

и

прямой

AB

будем

называть

угол,

на

который нужно

повернуть

около

точ­

ки

Р

прямую

AB

в

положительном

направлении

(т. е.

против

движения

часовой

стрелки),

чтобы

она

совпала

с прямой

CD. На

рис.

20

этот

угол

/.BPD

=

а.

Анало­

гично

определяется

угол

между

прямой AB

и

прямой

CD.

(В

нашем

случае

этот угол

/DPA

=

180° — а . )

2. Переходим теперь к вопросу

об

определении

угла

а между

прямой

CD и прямой AB

по заданным

уравне­

ниям

этих прямых.

Пусть прямая

AB

образует

с осью

Ох угол

фі, а

пря­

мая

CD — угол

ф2. Из

рис. 20 имеем

а =

фг— фь

сле­

довательно,

tg<pg — tg<Pi

tg а =

tg (ф2 — ф,) =

1 +

tg ф! tg ф2

Но,

как

известно

(§

5),

tg фі =

^і, tgф2 =

&2;

по­

этому

,

k2

— &i

(18)

t g ß =

k, —

k2

1 +

M

*

Формулы

(18)

и

отличаются

друг

от друга

только знаками.

Заметим,

что в числителях этих фор­

мул вычитается

угловой

ко-

Рис. 20.

эффициент

той

прямой,

с